Question

13.12. Используя метод доказательства "от противного", докажите, что если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треуголь- ника, то такие треугольники равны. Помогите пожалуйста, срочнооооооооо. Даю 40 баллов ​

Answer 1

Допустим, что у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и A'B'C', у которых катеты и противолежащие им острые углы равны, но треугольники не равны.

По определению прямоугольного треугольника, угол между гипотенузой и катетом равен 90 градусам. Поэтому в треугольнике ABC угол BAC является прямым углом, а в треугольнике A'B'C' угол B'A'C' является прямым углом.

Также, по условию, длины катетов и противолежащих им острых углов равны. Пусть катеты этих треугольников равны AC и A'C', а противолежащие им острые углы равны углам B и B'. Тогда:

AC = A'C' (1)

B = B' (2)

Теперь рассмотрим гипотенузы этих треугольников. Обозначим их как AB и A'B'. По теореме Пифагора, гипотенузы прямоугольных треугольников выражаются следующим образом:

AB² = AC² + BC²

A'B'² = A'C'² + B'C'²

Так как AC = A'C' (из уравнения (1)), то получаем:

AB² = AC² + BC²

A'B'² = AC² + B'C'²

Заметим, что BC и B'C' являются противолежащими к углам A и A' соответственно. Так как углы A и A' равны (как противолежащие к равным катетам), то BC = B'C'.

Теперь мы можем записать:

AB² = AC² + BC²

A'B'² = AC² + B'C'² = AC² + BC²

Так как BC = B'C', то A'B'² = AB². Следовательно, гипотенузы AB и A'B' также равны.

Мы получили, что катеты и гипотенузы прямоугольных треугольников ABC и A'B'C' равны. Это означает, что треугольники ABC и A'B'C' равны по теореме о равенстве прямоугольных треугольников. Это противоречит тому, что мы предположили в начале, что эти треугольники не равны. Таким образом, мы доказали, что если катет и противолежащий е му острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Answer 2

Давайте обозначим два прямоугольных треугольника следующим образом:

1. Первый треугольник: \(ABC\), где \(\angle ABC\) — прямой угол, \(AB\) — катет, \(BC\) — противолежащий угол.

2. Второй треугольник: \(DEF\), где \(\angle DEF\) — прямой угол, \(DE\) — катет, \(EF\) — противолежащий угол.

Предположим, что \(\angle ABC = \angle DEF\) и \(AB = DE\).

Теперь предположим, что эти треугольники не равны. Это значит, что хотя бы одна из сторон или углов этих треугольников не совпадает. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Если \(BC \neq EF\), то у нас есть два треугольника с равными углами \(\angle ABC\) и \(\angle DEF\), и стороны, соответствующие этим углам, не равны. Это противоречит условию.

2. Если \(BC = EF\), но \(AB \neq DE\), то у нас есть два треугольника с равными углами \(\angle ABC\) и \(\angle DEF\), и стороны, не соответствующие этим углам, не равны. Это также противоречит условию.

3. Если \(AB = DE\), но \(\angle ABC \neq \angle DEF\), то у нас есть два треугольника с равными сторонами \(AB\) и \(DE\), но с разными углами. Это противоречит условию.

Таким образом, мы пришли к противоречию в каждом из возможных случаев. Следовательно, наше предположение о том, что треугольники не равны, неверно. Таким образом, если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.