Question

При якому значенні k вектори (1; k; 3) і (- 3; 6; - 9) 1) - 5; 2) - 2; 3) 2; 4) 4 ; 5) 5. 1. колінеарні 2. перпендикулярні

Answer 1

Відповідь: 1) 2; 2) 5.

Пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Давайте розглянемо два вектори: \( \mathbf{v} = (1, k, 3) \) і \( \mathbf{u} = (-3, 6, -9) \).

1. Колінеарні вектори: Вектори \( \mathbf{v} \) і \( \mathbf{u} \) називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій, тобто якщо один вектор є кратним іншого.

Виразимо \( \mathbf{u} \) як добуток константи \( c \) та вектора \( \mathbf{v} \): \( \mathbf{u} = c \cdot \mathbf{v} \). Порівняємо відповідні компоненти: \[ \begin{cases} -3 = c \cdot 1 \\ 6 = c \cdot k \\ -9 = c \cdot 3 \end{cases} \]

З першого рівняння випливає \( c = -3 \). Підставимо це у друге рівняння: \( 6 = -3k \), звідки \( k = -2 \). Підставимо це значення у третє рівняння для перевірки: \( -9 = -9 \), що є правдивим. Отже, вектори колінеарні при \( k = -2 \).

2. Перпендикулярні вектори: Вектори \( \mathbf{v} \) і \( \mathbf{u} \) називаються перпендикулярними, якщо їхні скалярні добутки дорівнюють нулю: \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = 0 \]

Відомо, що скалярний добуток векторів \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) і \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \) визначається як \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \).

Для векторів \( \mathbf{v} \) і \( \mathbf{u} \) скалярний добуток буде: \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = (1 \cdot (-3)) + (k \cdot 6) + (3 \cdot (-9)) \]

Підставимо \( k = -2 \): \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = -3 - 12 - 27 = -42 \]

Оскільки \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} \neq 0 \), вектори не є перпендикулярними.

Отже, при \( k = -2 \) вектори \( \mathbf{v} \) і \( \mathbf{u} \) є колінеарними, але не є перпендикулярними.