Question

Основою піраміди є правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя утворює з нею кут 60°. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює 24 см.

Answer 1

Відповідь: фото

Пояснення:

розв'язання завдання

Answer 2

Основою піраміди є правильний трикутник, тому всі сторони цього трикутника мають однакову довжину. Хай ця довжина буде а.

Назвемо центр основи піраміди точкою O. Тоді бічні грані піраміди є прямими лініями, які проходять через O і перпендикулярні до площини основи.

За умовою, третя грань утворює з площиною основи кут 60°. Це означає, що кожна з бічних граней також утворює з площиною основи кут 60°.

Таким чином, ми можемо розглядати трикутник OAB, де A і B - це вершини бічних граней піраміди, а OA і OB - відрізки, які сполучають O з цими вершинами. Оскільки грані піраміди є перпендикулярні до площини основи, то OAB є прямим трикутником. За умовою, кут AOB дорівнює 60°.

Таким чином, у нас є правильний трикутник OAB з кутом AOB = 60° і стороною OA = OB = a.

За теоремою Піфагора знаходимо сторону AB:

AB^2 = OA^2 + OB^2 AB^2 = a^2 + a^2 AB^2 = 2a^2

AB = √(2a^2) = a√2

Також знаходимо висоту трикутника OAB, використовуючи теорему Піфагора:

(h/2)^2 = (AB/2)^2 - OA^2 (h/2)^2 = [(a√2)/2]^2 - a^2 (h/2)^2 = (2a^2/4) - a^2 (h/2)^2 = a^2/2 - a^2 (h/2)^2 = a^2(1/2 - 1) (h/2)^2 = -a^2/2

Оскільки висота позитивна, ми можемо знехтувати від'ємними значеннями і продовжувати обчислення:

(h/2)^2 = a^2/2

h/2 = a/√2

h = a√2

За умовою, висота піраміди дорівнює 24 см:

24 = a√2

a = 24/√2 = 12√2

Тепер можемо знайти площу основи піраміди:

Площа основи = (1/2)(a√3)^2 = (1/2)(12√2)^2 = (1/2)(144*2) = 144 см²

Тепер можемо обчислити об'єм піраміди:

Об'єм = (1/3)(площа основи)(висота) = (1/3)(144)(24) = 1152 см³

Отже, об'єм піраміди дорівнює 1152 кубічних сантиметрів.