Question

СРОЧНО!Плоскости равносторонних треугольников ABC И ABD перпендикулярны.Вычислите угол между:1) прямой DC и плоскостью ABC,2)плоскостями ADC и BDC.

Answer 1

1.

В тр-ках ABC и ACD опустим перпендикуляры на сторону AC. Очевидно, они упадудт в одну точку, т. к. тр-ки равнобедренные. Назовем эту точку H. В тр-ке BDH угол BDH - прямой (т. к. BD перпендикулярна плоскости ACD).

Найдем BH: в тр-ке ABC по т-ме Пифагора BH^2+6^2=4*21; BH=4*sqrt(3) //sqrt - это знак корня, т. е. 4 корня из трех.

Найдем AD: в тр-ке ADC по т-ме Пифагора 2*AD^2=12^2; AD=6*sqrt(2). //Не забываем, что AD=AC.

Найдем DH исходя из площади тр-ка ADC: DH*12=AD*AC; DH*12=36*2; DH=6.

В прямоугольном тр-ке BDH (угол BDH - прямой) гипотенуза равна 4*sqrt(3), а катет HD=6. Отсюда угол BHD=arccos(6/(4*sqrt(3))=arccos(sqrt(3)/2)=pi/6=30градусов.

Ответ: 30 градусов.

2. Поступаем аналогично 1-й задаче: вначале опускаем перпендикуляры BH и DH на сторону AC.
Далее по т-ме Пифагора находим DH:

DH^2=6^2+61; DH=sqrt(97)
Далее по т-ме Пифагора находим BH:
BH^2=10^2+6^2; BH=2sqrt(34).

Отсюда по т-ме косинусов в тр-ке DBH считаем BD:

BD^2=(2sqrt(34)^2+sqrt(97)^2-2*2sqrt(34)*sqrt(97)*cos(60))=
BD^2=136+97-2*sqrt(3298)=233-2sqrt(3298).

Далее можно упростить при желании.

Проверьте на всякий случай арифметику.

Answer 2

1) Угол между прямой DC и плоскостью ABC можно найти как угол между нормалями к этим плоскостям. Нормаль к плоскости ABC совпадает с нормалью к плоскости ABD, так как плоскости ABC и ABD перпендикулярны. Таким образом, угол между прямой DC и плоскостью ABC равен углу между прямой DC и плоскостью ABD. Поскольку треугольник ABD равносторонний, угол между прямой DC и плоскостью ABD равен 60 градусов.

2) Плоскости ADC и BDC пересекаются по прямой DC, поэтому угол между этими плоскостями равен углу между прямой DC и плоскостью ABC, который мы уже вычислили в предыдущем пункте и равен 60 градусов.