Question

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что DBC = 34°, ABD=42° и BDC=52°. Найдите углы четырёхугольника.

Answer 1

Відповідь:

∠ABD = 42°

∠ADB = 48°

∠BDC = 52°

∠CBD = 128°

∠ADC = 47°

∠BAC = 133°

Пояснення:

ADC = (1/2) * мере дуги AC

Дуга AC является дополнением дуги BD (ведь сумма дуг на окружности, образуемых смежными углами, равна 180 градусов), поэтому:

ADC = (1/2) * мере дуги BD = (1/2) * (мера дуги BD + мера дуги BC) = (1/2) * (ABD + BDC) = (1/2) * (42° + 52°) = 47°

Зная угол ADC, мы можем найти угол BAC (центральный угол, опирающийся на ту же дугу):

BAC = 180° - ADC = 180° - 47° = 133°

Теперь мы можем найти углы в треугольнике ABD:

ADB = 180° - ABD - BAD = 180° - 42° - 90° = 48°

Из свойств треугольника BDC следует, что:

CBD = 180° - BDC = 180° - 52° = 128°

Таким образом, углы четырехугольника ABCD равны:

∠ABD = 42°

∠ADB = 48°

∠BDC = 52°

∠CBD = 128°

∠ADC = 47°

∠BAC = 133°

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства вписанных углов и центральных углов в окружности.

1. Угол DBC равен 34° (дано). 2. Угол ABD равен 42° (дано). 3. Угол BDC равен 52° (дано).

Сначала найдем угол ABC. Угол ABC - это центральный угол, соответствующий дуге AC. По свойству центрального угла он в два раза больше угла BDC. Таким образом, угол ABC = 2 * угол BDC = 2 * 52° = 104°.

Теперь найдем угол ADC. Угол ADC - это центральный угол, соответствующий дуге BC. По тем же свойствам, угол ADC = 2 * угол ABC = 2 * 104° = 208°.

Теперь найдем угол CDA. Угол CDA - это центральный угол, соответствующий дуге AB. Он равен 360° - угол ADC, так как сумма центральных углов, соответствующих полной окружности, равна 360°. Таким образом, угол CDA = 360° - 208° = 152°.

И, наконец, угол CAB. Угол CAB - это центральный угол, соответствующий дуге BD. По свойству центрального угла, он равен в два раза углу DBC. Таким образом, угол CAB = 2 * угол DBC = 2 * 34° = 68°.

Таким образом, углы четырехугольника ABCD равны: - Угол ABD = 42°, - Угол BDC = 52°, - Угол CAB = 68°, - Угол CDA = 152°.