Question

12. Доведіть, що в рівних трикутниках висоти, проведені до відповідних сторін, рівні.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Дано: ∆АВС = ∆А1В1С1. BN ┴ AC; B1N1 ┴ A1C1.

Довести: BN = B1N1.

Доведения:

За умовою ∆АВС = ∆А1В1С1, звідси

АВ = А1В1; ∟A = ∟A1.

Answer 2

Для доведення цієї властивості, розглянемо два рівні трикутники: ABC і A'B'C'.

Позначимо точку перетину двох висот у трикутнику ABC за H, а точку перетину висот у трикутнику A'B'C' за H'. За визначенням, висоти трикутника - це відрізки, проведені з вершини трикутника до протилежної сторони і перпендикулярні до цієї сторони.

Для того, щоб довести, що висоти ABC і A'B'C' рівні, потрібно довести, що вони мають однакову довжину.

1. Доведення трикутників ABC і A'B'C' рівних. За умовою, трикутники ABC і A'B'C' рівні. Припустимо, що вони не рівні. Тоді, за властивістю рівних трикутників, вони мають дві рівні сторони і рівний між ними кут. За умовою, сторони BC і B'C' рівні, але кути B і C не рівні кутам B' і C' соответственно. Це протиріччя, оскільки для того, щоб трикутники були рівними, необхідно і достатньо мати рівні всі сторони і кути. Тому, трикутники ABC і A'B'C' рівні.

2. Доведення тільки висот. Для спрощення доведення, розглянемо трикутники ABC і A'B'C' у такий спосіб, що їх вершини розміщені на одній прямій, так що A лежить на A', B лежить на B' і C лежить на C'.

Оберемо одну з висот трикутника ABC, наприклад висоту, проведену з вершини A і позначимо її довжину як h. Оскільки трикутники ABC і A'B'C' рівні, це означає, що вони мають рівні сторони і кути. Зокрема, довжина відрізка BC дорівнює довжині відрізка B'C', а кути B і C рівні кутам B' і C' відповідно. Оскільки висота трикутника - це відрізок, що перпендикулярний до сторони трикутника, можна припустити, що ці висоти перпендикулярні до сторін. Значить і відрізки BH і B'H' перпендикулярні до сторін BC і B'C'.

Враховуючи перпендикулярність відрізків BH і B'H', а також рівність сторін трикутників ABC і A'B'C', можна припустити, що відрізки BH і B'H' рівні. Аналогічно, можна довести, що відрізки CH і C'H' рівні. Таким чином, знаючи, що висоти трикутника - це відрізки, проведені з вершини трикутника і перпендикулярні до сторони, ми можемо стверджувати, що висоти трикутника ABC і висоти трикутника A'B'C' рівні.

Таким чином, ми довели, що висоти, проведені до відповідних сторін рівних трикутників, також рівні.