Question

Трикутник А1В1С1 є паралельною проєкцією трикутника АВС. Знайдіть відстань між точками перетину медіан цих трикутників, якщо відстань між відповідними вершинами цих трикутників дорівнюють а см, в см, с см. Приклад відповіді: (?+?+?):?

Answer 1

Ответ:

(a+b+c):3

Объяснение:

Нехай точки М і М1 - середини сторін АС і А1С1, тоді в трапеції АСС1А1 відрізок М М1- середня лінія. Якщо АА1=асм, СС1=всм, то ММ1=(а+в):2см. Нехай О і О1 - точки перетину медіан трикутників   АВС і А1В1С1, тоді в трапеції ВВ1М1М відрізок ОО1=(ВВ1⋅1+ММ1⋅2):3=(с+2⋅(а+в):2):3см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, спочатку знайдемо координати вершин трикутників АВС та А1В1С1.

Нехай вершини трикутника АВС мають координати A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3). Тоді вершини трикутника А1В1С1 будуть мати такі координати: A1(x1, -y1), B1(x2, -y2) та C1(x3, -y3).

Тепер знайдемо координати точок перетину медіан трикутників АВС та А1В1С1. Медіани трикутника АВС проходять через середини сторін трикутника та точку перетину медіан є точкою перетину медіан у трикутнику А1В1С1.

Середини сторін трикутника АВС мають координати: M1((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) - середина сторони АВ, M2((x2+x3)/2, (y2+y3)/2) - середина сторони ВС, M3((x1+x3)/2, (y1+y3)/2) - середина сторони АС.

Координати точки перетину медіан трикутника АВС будуть: P((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3).

Таким чином, відстань між точками перетину медіан трикутників АВС та А1В1С1 буде відстанню між точками P та P1, де P1 - це точка перетину медіан трикутника А1В1С1.

Координати точки P1 будуть: P1((x1+x2+x3)/3, (-y1-y2-y3)/3).

Отже, відстань між точками перетину медіан трикутників АВС та А1В1С1 можна знайти за формулою відстані між двома точками: d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2).

Підставимо координати точок P та P1 у формулу: d = sqrt(((x1+x2+x3)/3 - (x1+x2+x3)/3)^2 + ((y1+y2+y3)/3 - (-y1-y2-y3)/3)^2).

Спростимо вираз: d = sqrt(0 + 4(y1^2 + y2^2 + y3^2 + y1y2 + y1y3 + y2y3)/9).

Враховуючи, що відстань між відповідними вершинами трикутників дорівнює а см, в см, с см, маємо: d = sqrt(4(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)/9).

Отже, відстань між точками перетину медіан трикутників АВС та А1В1С1 дорівнює sqrt(4(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac + bc)/9) см.