Question

В треугольнике АВС точка Е принадлежит медиане ВD, причем BE=3 ED. Прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке М. Найти отношение площадей треугольников АМС и АВС.

Answer 1

Если будут вопросы — задавай.

Answer 2

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся свойством медианы треугольника. Медиана треугольника делит ее площадь на две равные части.

Поскольку точка Е принадлежит медиане ВD, то BE = 3ED. Поскольку медиана делит сторону в отношении 2:1, то BD = 2DE.

Теперь рассмотрим треугольник АЕМ. Поскольку точка М - точка пересечения прямой АЕ и стороны ВС, то по свойству подобных треугольников:

AE/EM = AB/CB.

Однако, по условию задачи, BE = 3ED, т.е. AB = 3BC. Подставим это значение в уравнение:

AE/EM = 3CB/CB.

Упростим:

AE/EM = 3.

Теперь рассмотрим треугольник АСМ. Поскольку точка М - точка пересечения прямой АЕ и стороны ВС, то по свойству подобных треугольников:

AM/MC = AE/EC.

Однако, по условию задачи, BE = 3ED, т.е. AE = 4ED. Подставим это значение в уравнение:

AM/MC = 4ED/EC.

Упростим:

AM/MC = 4/3.

Таким образом, отношение площадей треугольников АМС и АВС равно отношению их сторон:

Площадь(АМС)/Площадь(АВС) = (AM/MC)^2 = (4/3)^2 = 16/9.

Отношение площадей треугольников АМС и АВС равно 16/9.