Question

Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює 6 корінь з 2 см, проведено площину, що перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу 90°. Знайдіть площу перерізу, якщо кут між діагоналлю перерізу і вказаною хордою дорівнює 60°.

Answer 1

Для розв'язання цього завдання нам знадобиться застосувати геометрію та тригонометрію.

Перш за все, давайте розглянемо ситуацію. Ми маємо циліндр з основою радіусом 6√2 см. Проведено площину, яка перетинає основу циліндра по хорді, яка стягує дугу 90°. Також нам відомо, що кут між діагоналлю перерізу і вказаною хордою дорівнює 60°.

Знаходження радіусу діагоналі перерізу

Для того, щоб знайти радіус діагоналі перерізу, нам потрібно врахувати, що хорда і діагональ перерізу є діагоналями прямокутного трикутника. Використовуючи тригонометрію, ми можемо встановити зв'язок між радіусом основи, радіусом діагоналі і кутом між ними.

Давайте позначимо радіус основи як r, радіус діагоналі як R і кут між ними як α.

За теоремою синусів, ми можемо записати наступний співвідношення:

sin(α) = r / R

Також, нам дано, що кут між діагоналлю і хордою дорівнює 60°. Оскільки хорда і діагональ є діагоналями прямокутного трикутника, кут між ними (60°) є кутом між радіусом основи і радіусом діагоналі. Тому, ми можемо записати:

sin(60°) = r / R

Так як sin(60°) = √3 / 2, ми можемо отримати наступне рівняння:

√3 / 2 = r / R

Розв'язавши це рівняння відносно R, ми отримаємо:

R = (2r) / √3

Знаходження площі перерізу

Тепер, коли ми знаходимо радіус діагоналі, ми можемо обчислити площу перерізу. Площа перерізу складається з площі сектора і трикутника.

Площа сектора може бути обчислена за формулою:

A_sector = (θ/360°) * π * R^2

де θ - це міра кута дуги, яка стягує хорду, а R - радіус діагоналі.

Також, ми можемо обчислити площу трикутника за формулою площі прямокутного трикутника:

A_triangle = (1/2) * a * b * sin(γ)

де a і b - це довжини катетів трикутника (в даному випадку, радіус основи і радіус діагоналі), а γ - кут між катетами (60°).

Таким чином, загальна площа перерізу може бути обчислена як сума площі сектора і площі трикутника:

A_total = A_sector + A_triangle

Обчислення площі перерізу

Замінивши значення R та θ у формулах, ми можемо обчислити площу перерізу:

R = (2 * 6√2) / √3 θ = 90°

A_sector = (90°/360°) * π * ((2 * 6√2) / √3)^2

A_triangle = (1/2) * 6√2 * (2 * 6√2) * sin(60°)

A_total = A_sector + A_triangle

Обчислення цих виразів дасть нам площу перерізу циліндра.