Question

В треугольнике PQR, угол Q=90градусов,угол P=60 градусов, сумма длин гепотенузы RP и катетам QP равна 18см.Определите RP и QP

Answer 1

10384774646474838ehsggdhd

Answer 2

Давайте обозначим длины сторон треугольника PQR. Пусть \(RP\) - гипотенуза, \(QP\) - катет, а \(RQ\) - второй катет.

Согласно условию: 1. Угол \(Q = 90^\circ\). 2. Угол \(P = 60^\circ\).

Из условия также следует, что \(RP + QP = 18\, \text{см}\).

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом \(Q = 90^\circ\) выполняется тригонометрическая теорема Пифагора: \[RP^2 = QP^2 + RQ^2.\]

Также, так как угол \(P = 60^\circ\), то соотношение между сторонами треугольника может быть выражено как: \[RP = 2 \cdot QP.\]

Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{align*} RP^2 &= QP^2 + RQ^2, \\ RP &= 2 \cdot QP, \\ RP + QP &= 18. \end{align*} \]

Мы можем использовать эти уравнения для определения значений \(RP\) и \(QP\).

Сначала решим систему. Подставим выражение для \(RP\) из второго уравнения в первое: \[ \begin{align*} (2 \cdot QP)^2 &= QP^2 + RQ^2, \\ 4 \cdot QP^2 &= QP^2 + RQ^2, \\ 3 \cdot QP^2 &= RQ^2. \end{align*} \]

Теперь подставим это обратно в уравнение \(RP + QP = 18\): \[2 \cdot QP + QP = 18, \] \[3 \cdot QP = 18, \] \[QP = 6\, \text{см}.\]

Теперь найдем \(RP\) с использованием второго уравнения: \[RP = 2 \cdot 6\, \text{см} = 12\, \text{см}.\]

Таким образом, длины сторон треугольника PQR равны: \(RP = 12\, \text{см}\), \(QP = 6\, \text{см}\), и \(RQ = \sqrt{3} \cdot QP = 6\sqrt{3}\, \text{см}\).