Question

Дан квадрат ABCD со стороной V2. Точка 0 — точка пересечения диагоналей. ОЕ отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата ABCD и OE = 6. Найдите косинус угла между плоскостями BCE и DEC. В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.

Answer 1

Ответ:

Значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73, равно 1.

Объяснение:

Требуется найти косинус угла между плоскостями BCE и DEC.

В ответе укажите значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.

Дано: ABCD - квадрат;

DC = √2;

AC ∩ BD = O; OE ⊥ ABCD; OE = 6;

Найти: косинус угла между плоскостями BCE и DEC.

Решение:

• Угол между двумя пересекающимися плоскостями - это двугранный угол.
• Двугранный угол измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

⇒ Искомый угол BHD.

Соединим Е с вершинами квадрата и получим правильную пирамиду.

В основании лежит квадрат, а грани - равные равнобедренные треугольники.

1. Рассмотрим ΔDBC - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем BD:

BD² = BC² + CD² = 2 + 2 = 4

BD = √4 = 2

Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

⇒ OD = 2 : 2 = 1

2. Рассмотрим ΔOED - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем DE:

DE² = DO² + OE² = 1 + 36 = 37

DE = √37

3. Рассмотрим ΔDEC - равнобедренный.

DH - высота.

Пусть СН = х, тогда НЕ = √37 - х

По теореме Пифагора:

из ΔDHC

DH² = DC² - HC² = 2 - x²     (1)

из ΔDEH

DH² = DE² - EH² = 37 - (√37 - x)² = 37 - 37 + 2√37x - x² = 2√37x - x²   (2)

Приравняем (1) и (2) и найдем х:

2 - x² = 2√37x - x²

2 = 2√37x

$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{37} }$

тогда

$\displaystyle DH^2 = 2-\frac{1}{37}=\frac{74-1}{37} =\frac{73}{37}\\ \\DH=\sqrt{\frac{73}{37} }$

4. Рассмотрим ΔDHC и ΔBHC - прямоугольные.

BC = CD; HC - общая.

⇒ ΔDHC и ΔBHC ( по гипотенузе и катету)

BH = HD.

5. Рассмотрим ΔВНD - равнобедренный.

• Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

⇒ BD² = BH² + HD² - 2 · BD · HD · cosα

$\displaystyle 4=\frac{73}{37}+\frac{73}{37}-2\cdot\sqrt{\frac{73}{37} }\cdot\sqrt{\frac{73}{37} } \cdot{cos\;\alpha } \\\\4-\frac{146}{37}=-\frac{146}{37}\cdot{cos\;\alpha } \\\\cos\;\alpha =-\frac{2}{37}:\frac{146}{37} \\\\cos\;\alpha =-\frac{2}{37}\cdot\frac{37}{146}=-\frac{1}{73}$

В ответе надо указать значение косинуса острого двугранного угла, умноженное на 73.

По формуле приведения:

cos (180° - α) = - cos α

⇒ cos (180 - α) = 1/73

$\displaystyle \frac{1}{73}\cdot 73=1$

Ответ: 1.

Answer 2

Для начала, построим квадрат ABCD со стороной √2 и точку O — точку пересечения диагоналей:

A____________B | | | O | | | D____________C Затем, проведем прямую OE, которая перпендикулярна плоскости квадрата ABCD и имеет длину 6:

A____________B | | | O | | | | | E | |____________| D 6 C Теперь, нам нужно найти косинус угла между плоскостями BCE и DEC. Для этого мы можем использовать свойство смежности косинуса.

Сначала найдем вектора BC и CE:

A____________B | | | O | | | | | E | |_C___|______| D 6 C Вектор BC = OB - OC = (0, -√2) - (√2, -√2) = (-√2, 0) Вектор CE = EC - BC = (2√2, 0) - (-√2, 0) = (3√2, 0)

Затем найдем их скалярное произведение:

BC · CE = (-√2)(3√2) + (0)(0) = -6 + 0 = -6

Теперь найдем длины векторов BC и CE:

|BC| = √((-√2)^2 + 0^2) = √2 |CE| = √((3√2)^2 + 0^2) = 3√2

Используем формулу для косинуса угла между векторами:

cosθ = (BC · CE) / (|BC| |CE|) = -6 / (√2 * 3√2) = -6 / (2 * 3) = -1 / 3

Итак, косинус угла между плоскостями BCE и DEC равен -1/3.

Умножим это значение на 73:

(-1/3) * 73 = -73/3

Ответ: значение косинуса острого двугранного угла, umноженное на 73, равно -73/3.