Question

Доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Answer 1

Ответ:

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

•Док-во.

Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.

Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Answer 2

Для доказательства свойства биссектрисы равнобедренного треугольника давайте предположим, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, в котором стороны AB и AC равны. Пусть BD - биссектриса угла B.

1. Равенство углов: Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы B и C также равны. Обозначим эту меру угла как α.

2. Треугольники BDC и ABC: Теперь рассмотрим треугольники BDC и ABC. У них углы BDC и ABC общие, а угол B равен углу C. Кроме того, сторона BD является общей для этих треугольников.

3. По стороне-уголу-стороне: Из условия углов и сторон получаем, что треугольники BDC и ABC подобны (по стороне-уголу-стороне).

4. Отношение сторон: Отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих боков: BD/AB = CD/AC.

5. Равенство отношений: Так как AB = AC (по свойству равнобедренного треугольника), то BD = CD.

Таким образом, биссектриса BD треугольника ABC делит сторону BC так, что BD = CD. Это свойство характеризует биссектрису угла B в равнобедренном треугольнике ABC.