Question

Найдите угол между УГОЛ между касательными, касательными, проведенными ИЗ ТОЧКИ, внешней по отношению к окружности, если точки касания делят Окружность на две дуги, относящиеся как: 3:15​

Answer 1

Ответ:

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны, поэтому углы ∠PBO=∠PAO=90°

Найдем меньший угол AOB=3x, а больший 15x.

Общий угол окружности 360°.

$3x + 15x = {360}^{ \circ} \\ 18x = {360}^{ \circ} \\ x = {20}^{ \circ}$

Нам нужен меньший 3x.

3x=3×20°=60°.

PAOB – четырехугольник, сумма внутренних углов четырехугольника 360°.

∠PAO+∠AOB+∠OBP+∠APB=360°

90°+60°+90°+∠APB=360°

240°+∠APB=360°

∠APB=360°-240°

∠APB=120°

∠APB – это и есть нужный нам угол между касательными.

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Пусть точка C - это точка, из которой проведены касательные к окружности, а точки A и B - это точки касания. Пусть также O - это центр окружности, а α и β - это градусные меры дуг AB и BA соответственно. Тогда, по условию задачи, α/β = 3/15 = 1/5.

Из свойств касательной к окружности следует, что AC = BC и ∠ACO = ∠BCO = 90°. Значит, треугольники ACO и BCO - равнобедренные прямоугольные, и ∠OAC = ∠OBC = 45°.

Также из свойств касательной к окружности следует, что угол между касательной и хордой равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. То есть, ∠ACB = α/2 и ∠BCA = β/2.

Теперь мы можем найти угол между касательными, проведенными из точки C. Этот угол равен сумме углов ∠ACB и ∠BCA, то есть:

∠ACB + ∠BCA = α/2 + β/2 = (α + β)/2

Но мы знаем, что α + β = 360°, так как они являются градусными мерами всей окружности. Поэтому:

∠ACB + ∠BCA = 360°/2 = 180°

Ответ: угол между касательными, проведенными из точки, внешней по отношению к окружности, равен 180°, если точки касания делят окружность на две дуги, относящиеся как 3:15.