Question

Від краю берега що знаходиться на висоті 17 м над озером протягнуто переправу, по якій можна спустись на інший берег що знаходиться на рівні озера. Довжина переправи 25м Знайдіть ширину озера та кут між переправою та горизонтом.

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі використовуємо трикутник та властивості трикутника.

Позначимо: - \( h \) - висота берега над рівнем озера (17 м), - \( d \) - довжина переправи (25 м), - \( L \) - відстань на рівні озера між обома берегами (шукана величина), - \( \theta \) - кут між переправою і горизонтом.

Маємо прямокутний трикутник, де сторони \( h \), \( d \), і \( L \) утворюють прямий кут. Використовуємо тригонометричні відношення для цього трикутника.

1. Тангенс кута \( \theta \) визначається як \( \tan(\theta) = \frac{h}{L} \). 2. З теореми Піфагора маємо \( L^2 = h^2 + d^2 \).

Розв'язуємо ці рівняння для знаходження шуканих значень \( L \) та \( \theta \):

1. Рівняння для тангенсу кута: \[ \tan(\theta) = \frac{17}{L} \]

Звідси знаходимо \( \theta \).

2. Рівняння за теоремою Піфагора: \[ L^2 = 17^2 + 25^2 \]

Звідси знаходимо \( L \).

Давайте обчислимо ці значення.

1. Тангенс кута: \[ \tan(\theta) = \frac{17}{L} \] \[ \tan(\theta) = \frac{17}{\sqrt{17^2 + 25^2}} \] \[ \tan(\theta) = \frac{17}{\sqrt{289 + 625}} \] \[ \tan(\theta) = \frac{17}{\sqrt{914}} \] \[ \tan(\theta) = \frac{17}{\sqrt{289 \cdot 3}} \] \[ \tan(\theta) = \frac{17}{17\sqrt{3}} \] \[ \tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] \[ \theta \approx 30^\circ \]

2. Застосовуючи теорему Піфагора: \[ L^2 = 17^2 + 25^2 \] \[ L^2 = 289 + 625 \] \[ L^2 = 914 \] \[ L = \sqrt{914} \] \[ L = \sqrt{289 \cdot 3} \] \[ L = 17\sqrt{3} \]

Отже, ширина озера \( L \) приблизно дорівнює \( 17\sqrt{3} \) метрів, а кут між переправою і горизонтом \( \theta \) приблизно \( 30^\circ \).