Question

СРОЧНО ДАЮ 100 БАЛОВ Середня лінія прямокутної трапеції дорівнює 16см, а її висота, проведена з вершини тупого кута, ділить основу у відношенні 7:2, рахуючи від вершини прямого кута. Знайдіть основи трапеції. Розпешите плз

Answer 1

Спочатку давайте позначимо основи трапеції як \(a\) та \(b\), де \(a\) - основа, на яку призначено відношення 7, і \(b\) - інша основа.

За умовою, середня лінія трапеції розділяє основу у відношенні 7:2. Таким чином, можемо записати рівняння:

\[ \frac{a}{b} = \frac{7}{2} \]

Далі відомо, що висота трапеції проведена з вершини тупого кута, тобто з тієї вершини, яка знаходиться протилежно до прямого кута. Така висота розділяє трапецію на два прямокутники, які мають основи \(a\) і \(b\). Оскільки ці прямокутники поділяються середньою лінією трапеції, то їх висоти будуть рівні половині висоти трапеції.

Позначимо висоту трапеції як \(h\), тоді висоти прямокутників будуть \(\frac{h}{2}\). Тепер можемо записати рівняння використовуючи те, що площа прямокутників дорівнює площі трапеції:

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot (a+b) \cdot h \]

Враховуючи, що \( \frac{a}{b} = \frac{7}{2} \), можемо замінити \(a\) в рівнянні:

\[ \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{7b}{2} \right) \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{9b}{2} \right) \cdot h \]

Спростимо рівняння:

\[ \frac{7b}{4} \cdot \frac{h}{2} + \frac{b}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{9b}{4} \cdot \frac{h}{2} \]

\[ \frac{7b + b}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{9b}{4} \cdot \frac{h}{2} \]

\[ \frac{8b}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{9b}{4} \cdot \frac{h}{2} \]

\[ 2b = \frac{9b}{4} \]

\[ 8b = 9b \]

\[ b = 8 \, \text{см} \]

Отже, друга основа трапеції \(b\) дорівнює 8 см. Тепер можна знайти першу основу \(a\):

\[ \frac{a}{b} = \frac{7}{2} \]

\[ \frac{a}{8} = \frac{7}{2} \]

\[ a = 8 \cdot \frac{7}{2} \]

\[ a = 28 \, \text{см} \]

Отже, перша основа трапеції \(a\) дорівнює 28 см.