Question

Даны вершины треугольника A(4;7) B(-1;3) и C(8;2).Докажите что ∆ABC- прямоугольный и равнобедренный.​

Answer 1

Ответ:

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным, нам нужно убедиться, что у него два равных угла и две равные стороны.

Для начала, найдем длины сторон треугольника ABC, используя координаты вершин. Для этого используем формулу длины отрезка между двумя точками в декартовой системе координат:

1. Длина стороны AB:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-1 - 4)² + (3 - 7)²) = √((-5)² + (-4)²) = √(25 + 16) = √41

2. Длина стороны BC:

BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)²) = √(8 - (-1)² + (2 - 3)²) = √(9² + (-1)²) = √(81 + 1) = √82

3. Длина стороны CA:

CA = √((x₁ - x₃)² + (y₁ - y₃)²) = √(4 - 8)² + (7 - 2)²) = √((-4)² + 5²) = √(16 + 25) = √41

Теперь, чтобы доказать равнобедренность, мы видим, что AB = CA = √41. Это означает, что две стороны треугольника равны.

Чтобы доказать прямоугольность треугольника, нам нужно проверить, что квадрат одной из сторон равен сумме квадратов других двух сторон. Давайте проверим для стороны AB:

AB² = (√41)² = 41

CA² + BC² = (√41)² + (√82)² = 41 + 82 = 123

Таким образом, AB² ≠ CA² + BC². Это означает, что треугольник ABC не является прямоугольным.

Исходя из наших расчетов, треугольник ABC не является прямоугольным и, следовательно, он также не является равнобедренным.

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC прямоугольный, нам необходимо проверить, что у него один из углов равен 90 градусам.

1. Найдем длины сторон треугольника: - Сторона AB: AB = √[(4 - (-1))^2 + (7 - 3)^2] = √[(5)^2 + (4)^2] = √[25 + 16] = √41 - Сторона BC: BC = √[(8 - (-1))^2 + (2 - 3)^2] = √[(9)^2 + (-1)^2] = √[81 + 1] = √82 - Сторона AC: AC = √[(8 - 4)^2 + (2 - 7)^2] = √[(4)^2 + (-5)^2] = √[16 + 25] = √41

2. Возведем квадраты длин сторон: - AB^2 = 41 - BC^2 = 82 - AC^2 = 41

3. Подставим эти значения в теорему Пифагора: AB^2 + BC^2 = AC^2 41 + 82 = 41 123 = 41

Получили противоречие. То есть длины сторон не удовлетворяют теореме Пифагора, поэтому треугольник ABC не является прямоугольным.

Для доказательства того, что треугольник ABC равнобедренный, нам необходимо проверить, что две его стороны равны.

1. Проверим, равны ли стороны AB и BC: AB = √[(4 - (-1))^2 + (7 - 3)^2] = √[(5)^2 + (4)^2] = √[25 + 16] = √41 BC = √[(8 - (-1))^2 + (2 - 3)^2] = √[(9)^2 + (-1)^2] = √[81 + 1] = √82

Получили, что AB ≠ BC, поэтому треугольник ABC не является равнобедренным.

Таким образом, треугольник ABC не является одновременно и прямоугольным, и равнобедренным.