Question

Доведіть що через кожну пряму можна провести дві різні площини

Answer 1

Ответ:

Нехай a і b дані мимобіжні прямі (на малюнку) оскільки a і b не перетинаються, то на прямій а можна знайти точку А що не належить прямій b. Проведемо через неї пряму b1 паралельну b. Аналогічно через довільну точку В на прямій b, що не належить a проведемо пряму а1 паралельну а (за теоремою 2.1) За аксіомою С3 можна провести площину альфа через прямі a і b1 і площину бетта через прямі a1 і b.

Answer 2

Доведемо це твердження:

Припустимо, що є пряма p. Зафіксуємо точку A на прямій p і розглянемо будь-яку іншу точку B поза прямою p. З'єднаємо точки A і B відрізком AB.

Оскільки точка B не лежить на прямій p, то відрізок AB не лежить у площині, що містить пряму p. Отже, відрізок AB задає нову площину, яка є різною від площини, що містить пряму p.

Залишилось довести, що можна провести ще одну площину через пряму p і точку A. Для цього виберемо будь-яку іншу точку C, яка не лежить на прямій p і не лежить у площині, що містить відрізок AB. З'єднаємо точки A і C відрізком AC.

Оскільки точка C не лежить у площині, що містить відрізок AB, то його додавання розширює площину, утворену відрізком AB. Таким чином, відрізок AC задає нову площину, яка також є різною від площини, що містить пряму p.

Таким чином, проведенням відрізків AB і AC ми показали, що через кожну пряму можна провести дві різні площини.