Question

Сторони прямокутника 1 см і 3 см. Визначити синус кута між діагоналями прямокутника.

Answer 1

Ответ:

Спершу визначимо довжину діагоналей прямокутника. Діагоналі прямокутника є гіпотенузами двох прямокутних трикутників, утворених сторонами прямокутника. Одна діагональ буде мати довжину, рівну гіпотенузі зі сторонами 1 см і 3 см, а інша - гіпотенузі зі сторонами 3 см і 1 см (оскільки порядок сторін не важливий):

Перша діагональ (D1) = √(1^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10 см.

Друга діагональ (D2) = √(3^2 + 1^2) = √(9 + 1) = √10 см.

Тепер ми можемо знайти синус кута між цими діагоналями. Синус кута між двома векторами (в даному випадку, діагоналями) можна знайти за допомогою наступної формули:

sin(θ) = |(D1 x D2)| / (|D1| * |D2|),

де D1 і D2 - це довжини діагоналей, а |D1| і |D2| - їх модулі (позитивні значення). |(D1 x D2)| - це добуток модулів діагоналей.

sin(θ) = |(√10 x √10)| / (√10 * √10) = (10) / (10) = 1.

Отже, синус кута між діагоналями прямокутника дорівнює 1.

Answer 2

Спочатку давайте визначимо синус кута між діагоналями прямокутника. Для цього нам знадобиться використати властивості прямокутника та тригонометричних функцій.

Спостереження 1: Діагоналі прямокутника є його сторонами і вони є взаємно перпендикулярними.

Спостереження 2: Синус кута між двома векторами можна обчислити за допомогою формули для скалярного добутку векторів та їх довжин:

\(\sin(θ) = \frac{|a × b|}{|a| * |b|}\),

де \(a\) та \(b\) - це вектори, \(×\) - скалярний добуток, \(|a|\) та \(|b|\) - довжини векторів.

В нашому випадку векторами є діагоналі прямокутника, а іншими векторами є його сторони.

Діагоналі прямокутника можна позначити як \(d_1\) та \(d_2\), а сторони прямокутника - як \(a\) та \(b\). Таким чином:

\(a = 1 см\) (довжина однієї сторони прямокутника)

\(b = 3 см\) (довжина іншої сторони прямокутника)

Тепер нам потрібно знайти довжини діагоналей прямокутника. Для прямокутника маємо такі відомості:

1. Діагоналі прямокутника - це гіпотенузи прямокутного трикутника, утвореного його сторонами. 2. За теоремою Піфагора, довжина діагоналі \(d\) прямокутника зв'язана з довжинами його сторін \(a\) і \(b\) так:

\(d^2 = a^2 + b^2\).

Підставимо значення \(a\) і \(b\):

\(d^2 = (1 см)^2 + (3 см)^2\),

\(d^2 = 1 см^2 + 9 см^2\),

\(d^2 = 10 см^2\).

Тепер обчислимо довжину діагоналі \(d\):

\(d = √(10 см^2) ≈ 3,16 см\).

Отже, діагоналі прямокутника мають приблизно довжину 3,16 см.

Тепер ми можемо обчислити синус кута між діагоналями, використовуючи формулу, яку я навів раніше:

\(\sin(θ) = \frac{|d_1 × d_2|}{|d_1| * |d_2|}\).

Де \(d_1\) і \(d_2\) - довжини діагоналей. В нашому випадку \(d_1 = d_2 = 3,16 см\).

Отже,

\(\sin(θ) = \frac{|3,16 см × 3,16 см|}{3,16 см * 3,16 см} = \frac{9,98 см^2}{9,98 см^2} = 1\).

Отже, синус кута між діагоналями прямокутника дорівнює 1.