Question

50б!!!!!!!Відстань між центром кіл,заданих в рівнянні х²+у²=4 і (х-3)²+(у+3)²=4

Answer 1

Щоб знайти відстань між центрами кола, заданого рівнянням \(x^2 + y^2 = 4\), і кола, заданого рівнянням \((x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 4\), потрібно знайти координати цих центрів та застосувати формулу відстані між двома точками в декартовій системі координат.

Спочатку перепишемо рівняння кожного кола у вигляді, зрозумілому для нас:

1. Перше коло: \(x^2 + y^2 = 4\) 2. Друге коло: \((x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 4\)

Розглянемо перше коло. У цьому випадку центр кола розташований в точці \((0, 0)\), оскільки обидві координати \(x\) і \(y\) рівні 0.

Тепер розглянемо друге коло. У цьому випадку рівняння виглядає як \((x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 4\). Щоб знайти координати центру цього кола, розкриємо дужки:

\[(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 4\] \[x^2 - 6x + 9 + y^2 + 6y + 9 = 4\] \[x^2 + y^2 - 6x + 6y + 14 = 0\]

Тепер ми можемо порівняти це рівняння зі стандартною формою рівняння кола \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), де \((h, k)\) - координати центру кола, \(r\) - радіус кола.

Порівнюючи коефіцієнти при \(x\), \(y\) та вільний член, ми отримуємо:

\[h = 3\] \[k = -3\] \[r^2 = 14\]

Таким чином, центр другого кола розташований в точці \((3, -3)\), і його радіус \(\sqrt{14}\).

Тепер застосуємо формулу відстані між двома точками в декартовій системі координат:

Відстань між двома точками \((x_1, y_1)\) і \((x_2, y_2)\) визначається формулою:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

У нашому випадку \((x_1, y_1) = (0, 0)\) - координати центру першого кола, \((x_2, y_2) = (3, -3)\) - координати центру другого кола.

Підставимо ці значення в формулу:

\[d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-3 - 0)^2}\] \[d = \sqrt{3^2 + (-3)^2}\] \[d = \sqrt{9 + 9}\] \[d = \sqrt{18}\]

Отже, відстань між центрами цих двох кол рівна \(3\sqrt{2}\) або приблизно \(4.24\).