Question

Знайди радіус кола, вписаного в трикутник, і кола описаного навколо трикутника, якщо його сторони дорівнюють 15см, 28см, 41см.

Answer 1

Для знаходження радіуса вписаного кола використовується формула

\[ r = \frac{{П}}{{2p}}, \]

де \(П\) - площа трикутника, \(p\) - напівпериметр трикутника.

Площу трикутника можна знайти за допомогою формули Герона:

\[ П = \sqrt{{p(p-a)(p-b)(p-c)}}, \]

де \(a\), \(b\), \(c\) - сторони трикутника.

Напівпериметр трикутника \(p\) обчислюємо за формулою:

\[ p = \frac{{a+b+c}}{2}, \]

де \(a\), \(b\), \(c\) - сторони трикутника.

Таким чином, знаючи сторони трикутника, можна обчислити радіус вписаного кола.

\[Підставимо дані в формули:\]

\[П = \sqrt{{\frac{{15+28+41}}{2}\left(\frac{{15+28+41}}{2}-15\right)\left(\frac{{15+28+41}}{2}-28\right)\left(\frac{{15+28+41}}{2}-41\right)}} = \sqrt{{\frac{{84}}{2}\cdot\frac{{69}}{2}\cdot\frac{{42}}{2}\cdot\frac{{3}}{2}}} = \sqrt{{\frac{{1}{8}{29952}}}} = \sqrt{{29952}} = 173.05\text{ см}^2.\]

\[ p = \frac{{15+28+41}}{2} = \frac{{84}}{2} = 42 \text{ см}. \]

\[ r = \frac{{П}}{{2p}} = \frac{{173.05}}{{2\cdot42}} ≈ 2.059 \text{ см}. \]

Таким чином, радіус вписаного кола приблизно дорівнює 2.059 см.

Для знаходження радіуса описаного кола використовується формула:

\[ R = \frac{{abc}}{{4П}}, \]

де \(R\) - радіус описаного кола, \(a\), \(b\), \(c\) - сторони трикутника.

\[Підставимо дані в формулу:\]

\[ R = \frac{{15\cdot28\cdot41}}{{4\cdot173.05}} ≈ 11.047 \text{ см}. \]

Таким чином, радіус описаного кола приблизно дорівнює 11.047 см.