Question

В треугольнике ABC со сторонами AB = 5, BC = 6, CA = 7 вписана окружность. Касательные к окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три малых треугольника. Докажите, что противоположные стороны образовавшегося шестиугольника попарно равны, и определите периметр и площадь малого треугольника с вершиной в точке A.

Answer 1

Если продлить секущие до пересечения, то получится треугольник, очевидно подобный исходному (уж точно с равными углами). Далее, у этих треугольников общая вписанная окружность, и точки касания параллельных сторон попарно лежат на противоположных концах диаметров (это - главный момент доказательства, я конечно, мог бы и не заострять внимание...).  Поэтому при вращении на 180° вокруг центра окружности точки касания "переходят в себя", следовательно, "переходят в себя" стороны треугольников (они перпендикулярны этим диаметрам).
То есть эти треугольники равны, и - поскольку отрезки стороны между секущими "переходят" в отрезки секущих между сторонами (тоже момент интересный - точка пересечения однозначно определяется двумя прямыми, и если две прямые переходят в две другие прямые, то точка пересечения переходит в ... понятно :)), они тоже равны. 
То есть это равенство отрезков не есть свойство только заданного треугольника, оно выполнено для произвольного треугольника.
Периметр каждого отсеченного треугольника равен сумме длин двух равных отрезков касательных из соответствующей вершины (в этом утверждении равенство касательных использовано дважды - равны отрезки касательной из вершины А и из вершин шестиугольника, ближайших к А, поэтому периметр равен .. ну, понятно).
Если обозначить отрезки касательных из вершины А за x, из B за y, из С за z, то
x + y = 5;
x + z = 7;
y + z = 6;
Откуда x = 3; (можно и остальные найти легко, y = 2; z = 4)
То есть периметр отсеченного треугольника с вершиной А равен 2*х = 6; периметр подобного ему исходного треугольника равен 5 + 6 + 7 = 18; то есть в 3 раза больше. Поэтому площадь малого треугольника равна 1/9 площади АВС.
Осталось сосчитать площадь АВС, например, по формуле Герона.
p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p - 5 = 4; p - 6 = 3; p - 7 = 2; 
S^2 = 9*4*3*2; S = 6√6;
Поэтому площадь малого треугольника 2√6/3;

Answer 2

Для начала докажем, что противоположные стороны образовавшегося шестиугольника попарно равны.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть точки касания к окружности, параллельные сторонам треугольника, обозначены как D, E и F, где D на стороне AB, E на стороне BC и F на стороне CA.

Так как касательные к окружности из одной точки равны, то AD = AF, BE = BD и CE = CF.

Теперь рассмотрим треугольник AED. Он равнобедренный, так как AD = AF (как уже доказано) и DE - общая сторона. Таким образом, угол ADE = угол AED. Аналогично, угол ACF = угол AFC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из угловой суммы треугольника, мы знаем, что угол BAC + угол ABC + угол ACB = 180 градусов.

Но угол BAC = угол ADE (из равнобедренности треугольника AED) и угол ACB = угол AFC (из равнобедренности треугольника AFC). Таким образом, угол ABC = угол BDE.

Из этого следует, что треугольники ABC и BDE подобны (по углам).

Теперь мы знаем, что AB/BD = BC/DE = CA/AF. Таким образом, BD = DE = EF = FC = AF = AD.

Таким образом, противоположные стороны шестиугольника попарно равны.

Теперь определим периметр и площадь малого треугольника с вершиной в точке A.

Периметр малого треугольника равен сумме его сторон: AB + AD + AF = 5 + 5 + 5 = 15.

Для определения площади малого треугольника с вершиной в точке A, мы можем использовать формулу Герона: S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)], где p - полупериметр треугольника, a, b, c - его стороны.

В данном случае, p = 15/2 = 7.5, a = 5, b = 5, c = 5. S = √[7.5(7.5 - 5)(7.5 - 5)(7.5 - 5)] = √[7.5 * 2.5 * 2.5 * 2.5] = √[46.875] ≈ 6.85.

Таким образом, площадь малого треугольника с вершиной в точке A примерно равна 6.85, а его периметр равен 15.