Question

Варіант 2 Точка Р не належить площині ромба ABCD, BC = BP = CP, точка О рівновіддалена від відрізків ВС, ВР і CP, AC = 6 см, BD = 6√2 см. 1) Доведіть, що точки В, С і О лежать в одній площині. 2) Знайдіть відстань від точки О до відрізка ВС.​

Answer 1

1) Доведення того, що точки В, С і О лежать в одній площині:

За умовою завдання, точка Р не належить площині ромба ABCD, і BC = BP = CP. Оскільки CP = CP, то точка P знаходиться посередині відрізка BC, і BP є медіаною трикутника BCP. Звідси випливає, що висота ромба, проведена з вершини B (до відрізка CP), перпендикулярна до CP і поділить відрізок CP навпіл. Тобто BP = PC.

Також, оскільки BP = CP, то трикутник BCP є рівностороннім трикутником, і всі його кути дорівнюють 60 градусів. Оскільки BCP = 60 градусів, то BCO = 60 градусів і CO лежить на площині, що проходить через точки B і C.

Тепер ми знаємо, що точка C лежить на площині ромба ABCD, і точка O лежить на площині, яка проходить через точки B і C. Отже, точки B, C і O лежать в одній площині.

2) Знайдення відстані від точки O до відрізка BC:

Ми вже з'ясували, що точка O лежить на площині, яка проходить через точки B і C. Тепер давайте знайдемо відстань від точки O до цієї площини.

Оскільки ромб ABCD - це ромб зі стороною AC дорівнює 6 см і BD дорівнює 6√2 см, то BC дорівнює половині діагоналі BD (оскільки BCD - прямокутний трикутник):

BC = (1/2) * BD = (1/2) * 6√2 = 3√2 см.

Тепер ми можемо знайти відстань від точки O до відрізка BC, яка дорівнює відстані від точки O до площини, яка проходить через точку BC і перпендикулярна до BC. Ця відстань може бути знайдена за допомогою формули для відстані від точки до площини:

Дистанція(O до площини BC) = |BC| / √(1 + BC^2),

де |BC| - довжина відрізка BC.

Дистанція(O до площини BC) = 3√2 / √(1 + (3√2)^2) = 3√2 / √(1 + 18) = 3√2 / √19 см.

Отже, відстань від точки О до відрізка BC дорівнює 3√2 / √19 см.