Question

Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересекают сторону ВС в точках К и М соответственно, причем ВК=КМ=МС, АК=8, ДМ=6. Найдите периметр паралелограмма

Answer 1

Чертеж к решению - во вложении.

Известно, что биссектрисы двух непротивоположных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом и отсекают равнобедренные треугольники. Таким, образом, треугольники АВК и МСД равнобедренные, а треугольник КРМ - прямоугольный.

Все равные углы (накрест лежащие и вертикальные), а также равные отрезки  отмечены на чертеже. 

Ведем обозначения: ВК=КМ=МС=х, КР=у, МР=z.

Периметр параллелограмма P=2(АВ+ВС)=8х.

Треугольники РАД и РКМ подобны по двум углам. Поэтому

$\frac{AP}{KP}=\frac{DP}{MP}=\frac{AD}{KM}$ 

$\frac{8+y}{y}=\frac{6+z}{z}=\frac{3x}{x}$

1) $\frac{8+y}{y}=\frac{3x}{x}$ 

$\frac{8+y}{y}=3$

3y=8+y

y=2,

2) $\frac{6+z}{z}=\frac{3x}{x}$ 

$\frac{6+z}{z}=3$

z+6=3z

z=3,

По теореме Пифагора в треугольнике КРМ

$x=\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

$P_{ABCD}=8\sqrt{13}$

Ответ:  $P_{ABCD}=8\sqrt{13}$

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения сторон параллелограмма АВСД. Затем мы сможем вычислить его периметр, используя формулу для периметра параллелограмма.

Дано: - АК = 8 - ДМ = 6 - ВК = КМ = МС

Мы знаем, что биссектрисы углов А и Д параллелограмма АВСД пересекают сторону ВС в точках К и М соответственно, и ВК = КМ = МС. Это означает, что сторона ВКСМ является равнобедренным треугольником.

Давайте обозначим стороны параллелограмма АВСД следующим образом: - АВ = а - ВС = b - СD = с - ДА = d

Также обозначим стороны треугольника ВКСМ следующим образом: - ВК = КМ = МС = х

Нахождение сторон параллелограмма

Из условия задачи мы знаем, что ВК = КМ = МС = х. Также, по определению равнобедренного треугольника, имеем:

ВК + КМ = ВМ х + х = b 2х = b

Аналогично, имеем:

МС + СД = МД х + с = d

Таким образом, мы получили два уравнения:

2х = b х + с = d

Нахождение периметра параллелограмма

Периметр параллелограмма вычисляется как сумма всех его сторон. Для нашего параллелограмма АВСД это будет:

Периметр = АВ + ВС + СD + ДА

Теперь мы можем найти значения сторон параллелограмма, используя полученные уравнения:

АВ = с ВС = b СD = с ДА = d

Тогда периметр параллелограмма будет:

Периметр = с + b + с + d

Решение

Для решения задачи, нам необходимо найти значения сторон параллелограмма АВСД. Используя уравнения, полученные из равнобедренного треугольника ВКСМ, можем найти значения сторон параллелограмма:

2х = b х + с = d

Таким образом, имеем:

2х = b х + с = 6

Решая эти уравнения, мы можем найти значения сторон параллелограмма:

2х = b х = 6 - с

Подставляя значение х в первое уравнение, получаем:

2(6 - с) = b 12 - 2с = b

Теперь мы можем найти периметр параллелограмма:

Периметр = с + b + с + d Периметр = с + (12 - 2с) + с + 6

Упрощая выражение, получаем:

Периметр = 2с + 18

Таким образом, периметр параллелограмма равен 2с + 18. Для полного решения задачи, необходимо знать значение стороны с параллелограмма. Если вы предоставите это значение, я смогу точно вычислить периметр параллелограмма.