Question

Sin^2 2x=1 найдите решения этого уравнения принадлежащие отрезку [П;2п]

Answer 1

Ответ:

а) $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi n$, n∈Z

б) $\displaystyle \frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$

Объяснение:

Решение во вложении

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы будем использовать свойства тригонометрических функций и алгебры. Уравнение sin^2(2x) = 1 может быть переписано в виде sin^2(2x) - 1 = 0.

Первый шаг: Замена тригонометрической функции

Мы можем использовать тригонометрическую тождества, чтобы заменить sin^2(2x) через cos(4x). Вспомним следующее тождество: sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1. Заменим θ на 2x и получим: sin^2(2x) + cos^2(2x) = 1. Теперь мы можем заменить sin^2(2x) в уравнении с помощью этого тождества:

cos^2(2x) - 1 = 0

Второй шаг: Факторизация

Уравнение cos^2(2x) - 1 = 0 является квадратным уравнением относительно cos(2x). Мы можем факторизовать его следующим образом:

(cos(2x) - 1)(cos(2x) + 1) = 0

Теперь мы можем решить два уравнения:

1) cos(2x) - 1 = 0 2) cos(2x) + 1 = 0

Третий шаг: Решение уравнений

1) cos(2x) - 1 = 0: Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

cos(2x) = 1

Так как cos(2x) имеет значения от -1 до 1, то нет решений для этого уравнения.

2) cos(2x) + 1 = 0: Вычтем 1 из обеих сторон уравнения:

cos(2x) = -1

Теперь найдем значения x, для которых cos(2x) равно -1. Это происходит, когда угол 2x равен π, 3π, 5π и т.д. То есть:

2x = π + 2πn, где n - целое число

Или, можно выразить x:

x = (π + 2πn) / 2, где n - целое число

Четвертый шаг: Нахождение решений в заданном интервале

Нам нужно найти решения, принадлежащие отрезку [П;2п]. Заметим, что отрезок [П;2п] соответствует интервалу [0;2π]. Подставим этот интервал в формулу для x:

x = (π + 2πn) / 2, где n - целое число, и 0 ≤ x ≤ 2π

Выполним подстановку n = 0, 1, 2, ... в эту формулу и найдем соответствующие значения x:

1) n = 0: x = (π + 2π(0)) / 2 = π / 2 2) n = 1: x = (π + 2π(1)) / 2 = 3π / 2

Таким образом, решения уравнения sin^2(2x) = 1, принадлежащие отрезку [П;2п], равны x = π / 2 и x = 3π / 2.