Question

Через вершину B правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая диагональ CF в точке K, причем K лежит между F и центром правильного шестиугольника. Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1:2. Найдите отношение CK:KF.

Answer 1

Если обозначить S площадь треугольника OAB, то легко видеть, что площадь ABF (дальше пишу Sabf) тоже S, то есть

Sabf = S;

Sbfe = 2S; Sbcde = 3S;

Пусть BK пересекает FE в точке M. Площадь треугольника BFM я обозначу S1, то есть

Sbfm = S1;

аналогично Sbem = S2; тогда

S1 + S2 = 2S;

2(S1 + S) = 3S + S2; => 2S1 - S2 = S;

откуда S1 = 3S/4; S2 = 5S/4; => FM/ME = 3/5;

пусть прямая EK пересекает BF в точке N.

Так как FO - медиана треугольника FBE,

FN/NB = FM/ME = 3/5;

=> (теорема Ван-Обеля) FK/KO = FN/NB + FM/ME = 6/5;

=> FK/FO = 6/(6 + 5) = 6/11; => FK/FC = 6/22; => FK/KC = 6/(22 - 6) = 3/8;

=> CK/KF = 8/3;

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу подробнее.

Пусть сторона правильного шестиугольника abcdef равна s, а его центр - точка O. Тогда отрезок Oc - это половина диагонали cf, и т.к. точка k лежит между f и O, отношение Ok:Oc равно 1:2.

Предположим, что точка P - точка пересечения отрезка ck с диагональю cf, а отрезок cp имеет длину x. Тогда отрезок kp имеет длину ck - x.

Поскольку площади различных частей шестиугольника относятся как 1:2, отношение площадей треугольников сpO и cPk равно 1:2. Так как площадь треугольника пропорциональна произведению его высоты на соответствующую сторону, получаем:

(S(cpO) : S(cPk)) = (Oc * cp : Oc * kp) = (cp : kp) = 1 : 2.

Таким образом, отношение ck:kf равно 1:2, а отношение ck : kf : cf будет равно 1 : 2 : 3.

Таким образом, отношение ck:kf равно 1:2.