Question

Обчисліть похідну в точці х0 (х)=2х^3-8√х+√6 х0=1(х)=8*х^-3 х0=2​

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

f(х)=2х^3-8х^(1/2)+√6

f'(x)=6x^2-4x^(-1/2)

f'(1)=6-4=2

f(x)=8x^(-3)

f'(x)= -24x^(-4)

f'(2)= -24/(2^4)= -24/16= -3/2= -1.5

Answer 2

Для вычисления производной функции f(x) в точке x₀, мы используем правило дифференцирования сложной функции. В данном случае у нас есть две функции, которые мы должны продифференцировать по отдельности: f(x) = 2x^3 - 8√x + √6 и g(x) = 8x^(-3) + 2.

Сначала продифференцируем f(x) по x:

f(x) = 2x^3 - 8√x + √6

f'(x) = d/dx [2x^3] - d/dx [8√x] + d/dx [√6]

f'(x) = 6x^2 - 4√x

Теперь продифференцируем g(x) по x:

g(x) = 8x^(-3) + 2

g'(x) = d/dx [8x^(-3)] + d/dx [2]

Для вычисления производной x^(-3), мы можем использовать степенное правило дифференцирования. Это правило утверждает, что d/dx [x^n] = n*x^(n-1). В данном случае n = -3:

g'(x) = 8*(-3)x^(-3-1) + 0

g'(x) = -24x^(-4)

Теперь у нас есть производные обеих функций:

f'(x) = 6x^2 - 4√x g'(x) = -24x^(-4)

Чтобы найти производную сложной функции f(g(x)) в точке x₀ = 1, мы подставим g(x) вместо x в производную функции f(x) и затем подставим x₀ = 1:

f'(g(1)) = 6(8*1^(-3) + 2)^2 - 4√(8*1^(-3) + 2)

Теперь давайте вычислим значения внутри этой производной:

g(1) = 8*1^(-3) + 2 = 8 + 2 = 10

Теперь подставим g(1) в f'(x):

f'(g(1)) = 6(10)^2 - 4√(10)

f'(g(1)) = 6(100) - 4√10

f'(g(1)) = 600 - 4√10

Итак, производная функции f(g(x)) в точке x₀ = 1 равна:

f'(g(1)) = 600 - 4√10