Question

Все двугранные углы при основании n-угольной пирамиды равны 45 градусов, высота пирамиды равна 15. Найдите радиус окружности, вписанной в основание пирамиды. Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

15

Объяснение:

фигура правильная, так как двугранный угл 45, то образующийся прямоугольный треугольник равнобедренный, высота равна радиусу

Answer 2

Для решения данной задачи, нам потребуется знать свойства двугранных углов в пирамиде. Сумма двугранных углов, образованных боковыми гранями пирамиды у основания, всегда равна 360°. Также известно, что у вписанной окружности радиуса r в n-угольнике, угол AOB, образованный хордой AB, равен 2π/n радиан.

Исходя из этой информации, мы можем представить пирамиду с n-угольным основанием, как n треугольников, равнобедренных в трехмерном пространстве. Так как все двугранные углы при основании пирамиды равны 45°, то каждый из треугольников будет иметь угол равный 360°/n = 2π/3 радиан.

Теперь нам нужно найти высоту треугольника, чтобы из нее найти радиус вписанной окружности. По свойствам равнобедренных треугольников, высота h делит его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых образован основанием треугольника и его высотой. Так как угол между основанием и боковой стороной равен 2π/3 радиан, то в каждом из этих прямоугольных треугольников углы между гипотенузой и катетами также составляют 2π/3 радиан.

Теперь можно использовать теорему синусов для нахождения высоты треугольника. Пусть а - длина основания треугольника, и h - его высота. Тогда по теореме синусов:

sin(π/3) = h/а,

h = а * sin(π/3).

Так как у равнобедренного треугольника две равные стороны, то а = 2r, где r - радиус вписанной окружности. Подставляя это выражение в формулу для h, получаем:

h = 2r * sin(π/3) = 2r * (√3/2) = √3r.

Из условия задачи нам известно, что h = 15. Подставляя это значение, находим:

15 = √3r,

r = 15/√3 = 5√3.

Таким образом, радиус вписанной окружности, равную 15, составляет 5√3.