Question

359. Найдите длину окружности: а) вписанной в прямоугольный треугольник, катеты которого равны 12 см и 9 см; б) описанной около прямоугольного треугольника, периметр которого равен 28 см, а площадь 48 см^2

Answer 1

Ответ:

центр окружности,описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.

Тогда по теореме Пифагора наййдем гипотенузу треугольнака с^2=a^2 + b^2=(33)^2 + (56)^2=1089 + 3136=4225.Тогда с=65.

Точка О(центр окружности)лежит на середине гипотенузы.тогда половина гипотенузы и равна радиусу окружности,т.е. R=65/2=32,5

А длина окружности С равна 2пиR=2*32,5*пи=65пи

Ну а там,если нужно,то подставляем пи=3,14

С=65*3,14=204,1

Answer 2

Для решения задачи о длине окружности, вписанной и описанной вокруг прямоугольного треугольника, нам понадобятся некоторые геометрические формулы.

Длина окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

Для нахождения длины окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, мы можем использовать следующую формулу:

C = 2πr

где C - длина окружности, r - радиус окружности.

В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, радиус можно найти, используя полупериметр треугольника и площадь треугольника.

Длина окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника

Для нахождения длины окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, мы можем использовать следующую формулу:

C = 2πR

где C - длина окружности, R - радиус окружности.

В прямоугольном треугольнике, описанном около окружности, радиус можно найти, используя длины сторон треугольника и формулу:

R = (a * b * c) / (4 * S)

где a, b, c - длины сторон треугольника, S - площадь треугольника.

Решение

Давайте решим задачу по порядку.

а) Найдем длину окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 9 см.

Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу:

S = (a * b) / 2

где a и b - длины катетов треугольника.

Подставим значения:

S = (12 * 9) / 2 = 54 см^2

Теперь найдем полупериметр треугольника:

p = (a + b + c) / 2

где a и b - длины катетов, c - гипотенуза треугольника.

В нашем случае, гипотенузу можно найти с помощью теоремы Пифагора:

c = √(a^2 + b^2) = √(12^2 + 9^2) = √(144 + 81) = √225 = 15 см

p = (12 + 9 + 15) / 2 = 18 см

Теперь можем найти радиус окружности, используя формулу:

r = S / p

r = 54 / 18 = 3 см

И, наконец, найдем длину окружности:

C = 2πr = 2 * 3.14 * 3 = 18.84 см

Таким образом, длина окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 9 см, равна 18.84 см.

б) Теперь найдем длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с периметром 28 см и площадью 48 см^2.

Сначала найдем радиус окружности, используя формулу:

R = (a * b * c) / (4 * S)

где a, b, c - длины сторон треугольника, S - площадь треугольника.

Мы знаем, что периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

28 = a + b + c

Также мы знаем, что площадь треугольника равна:

48 = (a * b) / 2

Решим систему уравнений, чтобы найти длины сторон треугольника.

Мы можем представить a и b через c:

a = c - b

Подставим это во второе уравнение:

48 = ((c - b) * b) / 2

Упростим это уравнение:

96 = c*b - b^2

Используя первое уравнение, выразим c через b:

c = 28 - a - b = 28 - (c - b) - b = 28 - c + 2b

Подставим это в предыдущее уравнение:

96 = (28 - c + 2b)*b - b^2

Упростим это уравнение:

96 = 28b - cb + 2b^2 - b^2

0 = cb - 28b + b^2 - 2b^2 - 96

0 = -b^2 - 27b + 96

Решим это квадратное уравнение:

b^2 + 27b - 96 = 0

Можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения b:

b = (-27 ± √(27^2 - 4 * 1 * -96)) / 2 * 1

b = (-27 ± √(729 + 384)) / 2

b = (-27 ± √1113) / 2

Решив это уравнение, получим два значения b: -30 и 3. Так как длины сторон не могут быть отрицательными, мы выбираем значение b = 3.

Теперь можем найти c:

c = 28 - a - b = 28 - (c - b) - b = 28 - c + 2b

c = 28 - c + 2 * 3

2c = 28 + 6

2c = 34

c = 17

Теперь можем найти a:

a = c - b = 17 - 3 = 14

Итак, длины сторон треугольника равны: a = 14 см, b = 3 см, c = 17 см.

Теперь мы можем найти радиус окружности:

R = (a * b * c) / (4 * S) = (14 * 3 * 17) / (4 * 48) = 14.875 см

Наконец, найдем длину окружности:

C = 2πR = 2 * 3.14 * 14.875 = 93.44 см

Таким образом, длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника с периметром 28 см и площадью 48 см^2, равна 93.44 см.