Question

окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B причём центр O окружности S1 лежит на окружности S2. Хода AC пересекает окружность S2 в точке D. Докажите, что OD перпендикулярно BC.​

Answer 1

∠BOD=∠BAD (вписанные углы, опирающиеся на дугу BD)

∠BAD=∪BC/2 (вписанный угол), ∠BOC=∪BC (центральный угол)

∠BOD =∠BAD =∠BOC/2, т.е. OD - биссектриса ∠BOC

В равнобедренном △BOC биссектриса OD является высотой, OD⊥BC

Answer 2

Для доказательства того, что OD перпендикулярно BC, можно воспользоваться свойствами окружностей и биссектрисы.

1. Поскольку окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, а центр окружности S2 (O) лежит на окружности S1, то эти две окружности являются взаимно касающимися. Это означает, что радиус окружности S1 равен расстоянию от центра S1 до центра S2 .

2. Далее, поскольку хорда OC окружности S1 пересекает окружность S2 в точке D, то угол DCO является вписанным углом. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности, всегда прямой (равен 90°) .

3. Теперь, если мы рассмотрим треугольник ODC, то углы в нем также будут вписанными, так как он является частью окружности S2.

4. Из свойств вписанных углов следует, что биссектриса любого вписанного угла в треугольник всегда перпендикулярнаopposite side. В данном случае, биссектриса угла DCO перпендикулярна стороне OC, а значит, перпендикулярна стороне BC .

5. Поэтому, OD перпендикулярно BC.

Важно отметить, что этот результат зависит от того, что окружности S1 и S2 взаимно касательны, и что хорда OC окружности S1 пересекает окружность S2 в точке D.