Question

В треугольнике медианы равны 13, 2 корня из 61, корень из 601. Найдите стороны этого треугольника и определите его вид ( остро-, прямо-, тупоугольный)

Answer 1

По формуле медианы
М=1/2*√2a²+2b²-c²
Подставим все медианы и обозначим стороны за x (медиана, опущенная на нее - 13)   y(М=√601)   z(М=2√61)  Получим систему из трех уравнений
13=1/2√2y²+2z²-x²
√601=1/2*√2z²+2x²-y²
2√61=1/2√2z²+2x²-z²
Возведем в квадрат обе части каждого уравнеия, т.е. избавимся от корней
169=1/4(2y²+2z²-x²)
601=1/4(2z²+2x²-y²)
244=1/4*(2y²+2x²-z²)
Приведем дроби к общему знаменателю - 4 и запишем все уравнения уже без знаменателей
2y²+2z²-x²²=676
2z²+2x²-y²=2404
2y²+2x²-z²=976
Выразим из первого x²       x²=2y²+2z²-676 (1)  и подставим во второе и третье уравнение
2z²+2(2y²+2z²-676)-y²=2404
2y²+2(2y²+2z²-676)-z²=976
После преобразования подобных слагаемых получим
2z²+y²=1252      
2y²+z²=776
Домножим первое уравнение на (-2) и сложим оба уравнения
-4z²-2y²=-2504
z²+2y²=776   (2)

-3z²=-1728
z²=576
z=24
Подставим z² в (2)
275+2y²=776
2y²=200
y²=100
y=10

Подставим y²  и z²  в (1)
x²=2*100+2*576-676
x²=676
x=26
Т.е стороны треугольника 24, 10,  26
самое простое проверить теорему Пифагора
10²+24²=36²
100+576=676
Все ОК, т.е треугольник прямоугольный

Answer 2

Для начала, давайте определим, что такое медианы в треугольнике. Медианы треугольника - это отрезки, соединяющие вершину треугольника с серединами противоположных сторон. В каждом треугольнике существуют три медианы, и они пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести или центроидом треугольника.

Поскольку у нас даны длины медиан треугольника, мы можем использовать их, чтобы найти длины сторон треугольника.

Пусть a, b и c - стороны треугольника, а m1, m2, и m3 - длины соответствующих медиан. Тогда справедливы следующие соотношения:

m1^2 = (1/4) * (2b^2 + 2c^2 - a^2) m2^2 = (1/4) * (2a^2 + 2c^2 - b^2) m3^2 = (1/4) * (2a^2 + 2b^2 - c^2)

Подставляя данные значения длин медиан, получаем следующие уравнения:

13^2 = (1/4) * (2b^2 + 2c^2 - a^2) -- (1) (2√61)^2 = (1/4) * (2a^2 + 2c^2 - b^2) -- (2) √601^2 = (1/4) * (2a^2 + 2b^2 - c^2) -- (3)

Теперь решим эту систему уравнений, чтобы найти значения сторон треугольника.

Решение уравнений:

Решим уравнение (1) относительно a:

13^2 = (1/4) * (2b^2 + 2c^2 - a^2)

Перегруппируем:

a^2 = 2b^2 + 2c^2 - 4 * 13^2

a^2 = 2b^2 + 2c^2 - 4 * 169

a^2 = 2b^2 + 2c^2 - 676

Теперь решим уравнение (2) относительно b:

(2√61)^2 = (1/4) * (2a^2 + 2c^2 - b^2)

4 * 61 = 2a^2 + 2c^2 - b^2

244 = 2a^2 + 2c^2 - b^2

Решим уравнение (3) относительно c:

√601^2 = (1/4) * (2a^2 + 2b^2 - c^2)

601 = 2a^2 + 2b^2 - c^2

Теперь, имея три уравнения, мы можем решить их, чтобы найти значения сторон треугольника a, b и c.