Question

У якому відношенні, рахуючи від вершини, треба поділити бічну сторону трикутника двома прямими, паралельними основі, щоб площа трикутника була поділена на три рівні частини? (рус: В каком отношении, считая от вершины, нужно поделить боковую сторону треугольника двумя прямыми, параллельными основаниям, чтобы площадь треугольника была разделена на три равные части?)Даю 50 балів. Розв'язання повне з усіма посиланнями на факти та теореми. Використовувати матеріал до 9 класу. Якщо ще й малюнок зробите - то взагалі окрема подяка.​

Answer 1

Ответ:

У нас есть треугольник. Его площадь S равна основание на высоту.

Мы должны получить ПОДОБНЫЕ треугольники, у которых у самого малого будет площадь 1/3*S, а у второго 2/3S. Необходимо понимать что все размеры (и основание и высота и боковые стороны пропорциональны). Тогда

1/3*ah=a1h1

ah=3a1h1

h1/h=a1/a =>h1=ha1/a

ah=3a1²h/a

a²=3a1²

a1=a/√3 - Т.е. размеры первого треугольника в √3 меньше начального.

Теперь для второго

ah=2/3*a2h2

h2/h=a2/a  => h2=ha2/a

2/3*ah=a2*ha2/a

a2=√2/√3*a

Теперь восстанавливаем отношения. Пусть боковая сторона 1, тогда отношение будет

1/√3:√2/√3:1  - избавимся от иррациональности в знаменатели. Умножим на √3

√3/3:√6/3:√3 - отношение отрезков, считая от вершины.

Похоже на правду. Приближенно: 0.58:0.82:1 - каждый раз уменьшается соотношение.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі розглянемо трикутник ABC. Ми хочемо поділити бічну сторону AB на три рівні частини за допомогою двох прямих, які будуть паралельними основі BC.

1. Розглянемо факт, що площа трикутника дорівнює половині добутку однієї зі сторін на висоту, проведену до цієї сторони. Отже, площа трикутника ABC дорівнює (1/2) * AB * h, де h - висота, проведена до основи BC.

2. Тепер розглянемо дві паралельні прямі, які ділять бічну сторону AB на три рівні частини. Позначимо точки ділення як D та E, де D - перше ділення, а E - друге ділення.

3. Оскільки прямі DE та CE паралельні основі BC та проходять через вершину A, то вони утворюють подібні трикутники з трикутником ABC.

4. Позначимо довжини AD як x. Тоді довжини DE будуть 2x, оскільки DE ділить AB на три рівні частини.

5. З подібності трикутників ADE та ABC, ми можемо записати наступне відношення:

(DE / BC) = (AD / AB)

(2x / BC) = (x / AB)

2x = x / AB * BC

6. З цього рівняння ми можемо виділити AB:

2 = 1 / (AB * BC)

7. Тепер, знаючи відношення AB та BC, ми можемо знайти висоту h:

AB / BC = 1 / 2

AB = BC / 2

h = sqrt(AB^2 - (BC / 2)^2)

8. Тепер ми можемо знайти площу трикутника ABC:

S(ABC) = (1/2) * AB * h

S(ABC) = (1/2) * (BC / 2) * sqrt((BC / 2)^2 - (BC / 2)^2)

S(ABC) = (1/8) * BC * sqrt(BC^2 / 4 - BC^2 / 4)

S(ABC) = (1/8) * BC * sqrt(0)

9. Оскільки вираз під коренем дорівнює нулю, то площа трикутника ABC також дорівнює нулю, що суперечить умові, що площа повинна бути поділена на три рівні частини.

Отже, неможливо поділити бічну сторону трикутника ABC на три рівні частини за допомогою двох прямих, паралельних основі BC, так як це призведе до нульової площі трикутника.