Question

В треугольнике ABC проведена медиана AM. Периметр треугольника ABС равен 80, периметр треугольника AВM равен 76, периметр треугольника AМС равен 68. Найдите медиану AM.

Answer 1

Ответ:

АМ=32 ед.

Объяснение:

Дано: ΔАВС;

АМ - медиана;

$P_{ABC}=80\\P_{ABM}=76\\P_{AMC}=68$

Найти: АМ

Решение:

Пусть АВ=с; ВС=а; АС=b.

АМ - медиана ⇒

$\displaystyle BM=MC=\frac{a}{2}$

$\displaystyle P_{ABC}=b+a+c=80\\P_{ABM}=c+\frac{a}{2}+m=76\\P_{AMC}=m+\frac{a}{2}+b=68$

Сложим периметры ΔАВМ и ΔАМС:

$\displaystyle c+\frac{a}{2}+m+m+\frac{a}{2}+b=76+68\\c+a+b+2m=144\\P_{ABC}+2m=144\\80+2m=144\\2m=144-80\\m=64:2\\m=32$

⇒ АМ=32 ед.

Answer 2

Для решения задачи нам нужно использовать свойство медианы в треугольнике.

Медиана треугольника делит её на две части, пропорциональные длинам соответствующих сторон. Поэтому, если обозначить стороны треугольника a, b и c, а длину медианы как m, то можно выразить следующие уравнения:

2m = b + c 2m = a + c 2m = a + b

Теперь решим данную систему уравнений. Для этого сложим все три уравнения:

2m + 2m + 2m = a + b + c + a + b + c

6m = 2(a + b + c)

Так как изначально заданы периметры треугольников, то a + b + c = 80 + 76 + 68 = 224. Подставляем это значение:

6m = 2 * 224

6m = 448

m = 448 / 6

m ≈ 74.67

Таким образом, длина медианы am ≈ 74.67.