Question

Найти катеты прямоугольного треугольника, если их отношение равно 20 к 21, а разница между радиусами описанного и вписанного кал равна 17 см.

Answer 1

Решение показано на рисунке, все формулы взяты из школьной программы

Answer 2

Для нахождения катетов прямоугольного треугольника, у которого отношение катетов равно 20 к 21, и известна разница между радиусами описанной и вписанной окружностей, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначим один катет как 20x и другой как 21x, где x - это некоторый множитель.

2. Вспомним теорему Пифагора, которая гласит: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

3. Так как у нас есть отношение между катетами, мы можем записать это отношение как: 20x / 21x = 20 / 21

4. Теперь мы знаем отношение между катетами, и мы также знаем, что сумма их квадратов равна квадрату гипотенузы (гипотенуза - это гипотетическая сторона прямоугольного треугольника). Мы обозначим гипотенузу как c:

(20x)^2 + (21x)^2 = c^2

5. Выразим c^2:

400x^2 + 441x^2 = c^2 841x^2 = c^2

6. Теперь мы знаем, что c^2 равно 841x^2. Мы также знаем, что разница между радиусами описанной и вписанной окружностей кал равна 17 см. Это означает, что гипотенуза - это диаметр описанной окружности, а радиус вписанной окружности равен (гипотенуза - 17 см).

7. Пусть d - диаметр описанной окружности, и r - радиус вписанной окружности. Тогда:

d = c r = c - 17

8. Так как гипотенуза c - это диаметр описанной окружности, мы можем записать:

d = 841x

9. Теперь мы можем выразить r в терминах x:

r = 841x - 17

10. Теперь мы знаем, что r = 841x - 17 и r - радиус вписанной окружности. Мы также знаем, что r равен половине высоты прямоугольного треугольника.

11. Теперь мы можем найти выражение для высоты h:

h = 2r h = 2(841x - 17) h = 1682x - 34

12. Так как высота h является одним из катетов прямоугольного треугольника, мы можем приравнять ее к одному из катетов (например, 20x):

20x = 1682x - 34

13. Теперь решим это уравнение для x:

20x - 1682x = -34 -1662x = -34

14. Разделим обе стороны на -1662, чтобы найти значение x:

x = -34 / -1662 x = 17 / 831

15. Теперь, когда мы знаем значение x, мы можем найти значения катетов:

Первый катет = 20x = 20 * (17 / 831) Второй катет = 21x = 21 * (17 / 831)

Теперь у нас есть значения для обоих катетов прямоугольного треугольника. Для более точных численных значений можно вычислить их численное значение.