Question

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма короткого катета и гипотенузы равна 27 см. Определи длину короткого катета. 1. Величина второго острого угла равна °. 2. Длина короткого катета равна см.

Answer 1

Ответ:

30°,  9 см.

Объяснение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90 градусов, поэтому

1. Величина второго острого угла равна 90-60=30°

2. Длина короткого катета равна половине гипотенузы, т.к. он лежит против угла 30 градусов.

Пусть короткий катет х см, тогда гипотенуза 2х см.

х+2х=27;  3х=27;  х=9

Длина короткого катета 9 см.

Answer 2

Ответ: 1 - 30°

2 - 9см

Объяснение: 1 - Второй острый угол равен

180 - 90 - 60 = 30°

т.к. сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

2 - В прямоугольном треугольнике с углом в 30 градусов катет против этого угла в два раза короче гипотенузы

Если длина этого катета a, то длина гипотенузы 2a

Второй катет b найдём по Пифагору

a² + b² = (2a)²

a² + b² = 4a²

b² = 3a²

b = a√3 см

√3 больше 1, так что из двух катетов катет a, против угла в 30 градусов, является самым коротким.

Найдём длину короткого катета

а + 2а = 27

3а = 27

а = 9 см

Answer 3

Пусть длина короткого катета равна x см. Тогда, по теореме Пифагора, гипотенуза будет равна √(x^2 + h^2), где h - длина другого катета.

По условию, один из острых углов равен 60°, значит второй острый угол равен 90° - 60° = 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Так как сумма короткого катета и гипотенузы равна 27 см, получаем уравнение: x + √(x^2 + h^2) = 27.

Для удобства решения, введем временную переменную y = √(x^2 + h^2). Тогда уравнение примет вид: x + y = 27.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получим: √(x^2 + h^2) = y.

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат: x^2 + h^2 = y^2.

Пусть a - величина второго острого угла. Тогда, согласно свойствам прямоугольного треугольника, имеем: a + 60° + 90° = 180°, a = 180° - 60° - 90° = 30°.

Таким образом, известны все величины углов треугольника и дано уравнение: x + y = 27, x^2 + h^2 = y^2, a = 30°.

Далее, вводим тригонометрические функции синуса и косинуса: sin(a) = h/y и cos(a) = x/y. Подставляем известные значения: sin(30°) = h/y, cos(30°) = x/y.

Используя тригонометрические соотношения для синуса и косинуса угла 30° (sin(30°) = 1/2 и cos(30°) = sqrt(3)/2), получаем систему уравнений: 1/2 = h/y, sqrt(3)/2 = x/y.

Решая эту систему уравнений относительно x и y, получаем: h = y/2, x = sqrt(3)/2 * y.

Подставляем найденные значения h и x в первое уравнение: x + y = 27, sqrt(3)/2 * y + y = 27, (1 + sqrt(3)/2) * y = 27, y = 27 / (1 + sqrt(3)/2), y = 27 / (2 + sqrt(3)).

Таким образом, найдена длина второго катета y. Далее, найдем длину короткого катета x: x = sqrt(3)/2 * y, x = sqrt(3)/2 * 27 / (2 + sqrt(3)).

Окончательно, получаем: 1. Величина второго острого угла равна 30°. 2. Длина короткого катета равна sqrt(3)/2 * 27 / (2 + sqrt(3)) см.