Question

Напишите уравнение окружности, симметричной окружности, заданной уравнением x^2+y^2+6x-8y=0, относительно точки A(-1;3)

Answer 1

X² + y² + 6x - 8y = 0
Выделим полные квадраты
x² + 6x + 9 + y² - 8y + 16 = 9 + 16
(x+3)² + (y-4)² = 5²
Координаты центра
m(-3;4)
зеркальная точка 
n(x;y)
A = 1/2*(m+n)
2A = m+n
n = 2A - m
n = 2*(-1;3) - (-3;4)
n = (-2;6) + (3;-4)
n = (-2+3;6-4) = (1;2)
И уравнение окружности
(x-1)² + (y-2)² = 5²

Answer 2

Для того, чтобы найти уравнение окружности, симметричной окружности, заданной уравнением x^2+y^2+6x-8y=0, относительно точки A(-1;3), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти центр и радиус исходной окружности, приведя ее уравнение к каноническому виду. Для этого дополним квадраты на x и y, получая:

(x^2+6x+9)+(y^2-8y+16)=0+9+16

(x+3)^2+(y-4)^2=25

Из этого следует, что центр исходной окружности имеет координаты (-3,4), а радиус равен 5.

2. Найти точку B, симметричную точке A относительно центра исходной окружности. Для этого нужно вычесть из координат центра разность между координатами центра и точки A. Получаем:

B(-3-(-3-(-1)),4-(4-3))=(-1,5)

3. Найти уравнение окружности, проходящей через точку B и имеющей тот же радиус, что и исходная окружность. Для этого нужно подставить координаты точки B и радиус в общее уравнение окружности:

(x-x_B)^2+(y-y_B)^2=R^2

(x-(-1))^2+(y-5)^2=5^2

x^2+y^2+2x-10y-9=0

Это и есть уравнение окружности, симметричной окружности, заданной уравнением x^2+y^2+6x-8y=0, относительно точки A(-1;3).

Вы можете посмотреть график обеих окружностей на [этом сайте](https://www.mathway.com/popular-problems/Algebra/205123), введя оба уравнения в поле для ввода функции.