Question

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2√7, а боковое ребро равно 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания

Answer 1

Находим сторону основания а.

a = 2√(L² - A²) = 2√(49 - 28) = 2√21.

Высота основания h = a*cos30° = 2√21*√3/2 = 3√7.

Проекция апофемы на основание равна (1/3)h = 3√7/3 = √7.

Отсюда находим угол наклона боковой грани к основанию.

α = arc cos (((1/3)h) / A) = arc cos (√7 / 2√7) = arc cos (1/2) = 60°.

Answer 2

Для нахождения угла между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания, нам необходимо знать значения апофемы и бокового ребра. Апофема правильной треугольной пирамиды (фигуры с основанием в форме правильного треугольника) равна половине произведения длины стороны треугольника на корень из 3. В данном случае, апофема равна 2√7, а боковое ребро равно 7. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью ее основания можно найти, используя тригонометрию. Пусть α - угол между плоскостью боковой грани и плоскостью ее основания. Так как треугольник в основании пирамиды является правильным треугольником, то в нем все углы равны 60 градусам. Также известно, что апофема равна половине произведения длины стороны треугольника на корень из 3. Тогда, длина стороны треугольника равна (2√7 * 2) / √3 = (4√7) / √3 = (4√7 * √3) / 3 = (4√21) / 3. Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения угла α: cos(α) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab), где a = 7 (боковое ребро), b = (4√21) / 3 (длина стороны треугольника), c = 7 (боковое ребро). cos(α) = (7^2 + ((4√21) / 3)^2 - 7^2) / (2 * 7 * ((4√21) / 3)) = (49 + (16 * 21) / 9 - 49) / (14 * (√21) / 3) = (49 + 336/9 - 49) / (14 * (√21) / 3) = (336/9) / (14 * (√21) / 3) = (112/3) / (14 * (√21) / 3) = 112 / (14 * (√21)) = 8 / (√21). Таким образом, cos(α) = 8 / (√21). Для нахождения угла α можно взять арккосинус от этого значения: α = arccos(8 / (√21)). Итак, угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания равен arccos(8 / (√21)).