Question

Радіус кола описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3√2,а апофема дорівнює 10см. Знайти бічну поверхню піраміди.

Answer 1

Ответ: боковая поверхность заданной пирамиды равна 120 см².

Решение.

Дана правильная четырехугольная пирамида. в основании ее лежит квадрат. Точка пересечения диагоналей квадрата является центром описанной около квадрата окружности, а радиус ее равен половине диагонали квадрата.

Так как радиус описанной окружности AO = 3√2, то диагональ квадрата AC = 2*3√2 = 6√2.

Найдем сторону квадрата ABCD по т.Пифагора:

AC² = AD² + CD² = 2AD²;   (6√2)² = 2AD²;  36*2 = 2AD²;  AD² = 36; AD = 6 см.

Сторона квадрата = 6 см. Периметр основания пирамиды P = 4AD = 4*6 = 24 см.

Боковая поверхность пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Sбок = (1/2) * P * h = 1/2 * 24 * 10 = 120 (см²).

Answer 2

Задача полягає в знаходженні бічної поверхні піраміди за відомостями про радіус кола, описаного навколо основи, і апофему. Основа правильної чотирикутної піраміди є квадратом, тому сторона основи дорівнює d (діаметру кола, описаного навколо основи). А оскільки радіус кола дорівнює 3√2, то діаметр буде рівний 2 * 3√2 = 6√2. Таким чином, сторона основи дорівнює 6√2. Апофема піраміди дорівнює відстані від середини основи до вершини піраміди. Оскільки апофема дорівнює 10 см, то вона є висотою трикутника, утвореного діагоналями квадрата основи і апофемою. Трикутник зі сторонами 6√2 и 10 є прямокутним, тому ми можемо застосувати теорему Піфагора, щоб знайти третю сторону: (6√2)² + 10² = c² 72 + 100 = c² 172 = c² c = √172 = 2√43 Таким чином, третя сторона трикутника дорівнює 2√43, а це ж і є висотою прямокутного трикутника (основа якого 6√2, а катет 10). Тепер ми можемо знайти бічну поверхню піраміди, скориставшись формулою: С = (1/2) * периметр основи * висота. Периметр основи складається з 4 сторін, тому: П = 4 * сторона = 4 * 6√2 = 24√2. Тоді бічна поверхня піраміди буде: S = (1/2) * П * висота = (1/2) * 24√2 * 2√43 = 12√2 * 2√43 = 24√86. Отже, бічна поверхня піраміди дорівнює 24√86.