Question

3) В треугольник со сторонами 9 см, 12 см, 15 см вписана окружность.Сделайте чертеж и найдите отрезки, на которые точки касания сторон со вписанной окружностью разбивают стороны треугольника 4) В треугольник АВС с углом при вершине В в 70 градусов вписана окружность с центром О. Сделайте чертеж и найдите, чему равна величина угла АОС 5) Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается катетов АС и ВС в точках Р и Q соответственно. Известно, что АР=4см, ВQ=6 см. Чему равняется АВ?

Answer 1

3) AD+DB=9 см. ВЕ+ЕС=12 см, АF+FC=15см. (дано).
AD=AF, DB=BE, EC=FC как касательные к окружности из одной точки.
AD+EC=AC=15 см.
2DB  + AC = AB+BC = 21 см.
2DB = 21-15 = 6 см.  Тогда
AD= AB-DB = 9-3=6см. DB=3 см, BE=3 см,
ЕС=ВС-ВЕ=12-3=9 см, AF=AD=6см, FС=EC=9см.
Ответ: AD=6см, DB=3 см, BE=3см, ЕС=9см, CF=9см FA=6см.

4). В треугольнике АВС <A+<C= 180° - 70° = 110°.
АО - биссектриса угла А.
СО - биссектриса угла С (так как точка О - центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.  Тогда
(1/2)*(<A+<C) = 55°.
В треугольнике АОС
<AOC=180°-(1/2)*(<A+<C) = 180° - 55° = 125°.
Ответ: <AOC=125°.

5) AF=AP, BF=BQ как касательные к окружности из одной точки.  Тогда
AB=AF+FB = AP+BQ = 10см.
Ответ: АВ=10см.

Answer 2

3) Для решения задачи находим полупериметр треугольника: p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см. Затем, согласно формуле радиуса вписанной окружности r = p / p, находим радиус окружности: r = 18 / 18 = 1 см.

Далее, находим точки касания окружности с каждой из сторон треугольника. Обозначим эти точки как A', B' и C'. Для этого делим каждую сторону треугольника на две отрезка: AB = 9 см, BC = 12 см, AC = 15 см. То есть, AB = A'B' + B'C', BC = B'C' + C'A', AC = A'C' + A'B'.

Таким образом, находим отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника: A'B' = AB - r = 9 - 1 = 8 см B'C' = BC - r = 12 - 1 = 11 см A'C' = AC - r = 15 - 1 = 14 см

4) Для решения задачи строим треугольник АВС с углом при вершине В в 70 градусов и вписанной окружностью с центром О. Затем проводим радиус ОС, который является радиусом вписанной окружности. Треугольник АОС образуется.

Для нахождения величины угла АОС используем свойство центрального угла. По этому свойству угол AОС равен удвоенному углу АВО (так как О - центр окружности).

Известно, что угол В равен 70 градусам. То есть угол АВО равен половине угла В: АВО = 70 / 2 = 35 градусов.

Следовательно, угол АОС равен 2 * 35 = 70 градусам.

5) Обозначим точку касания окружности с катетом AC как P, а с катетом BC как Q. Известно, что AP = 4 см и BQ = 6 см.

Находим отрезки катетов: AC = AP + PC и BC = BQ + CQ.

Вспоминаем свойство касательной: отрезки, проведенные от точки касания до точек касания катетов с окружностью, равны между собой. То есть AP = PC и BQ = CQ.

Заменяем значения в уравнениях: AC = 4 + 4 = 8 см и BC = 6 + 6 = 12 см.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2.

Подставляем известные значения: AB^2 = 8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208.

Корень из 208 равен 4 корня из 13, таким образом, AB = 4√13 см.