Question

Окружность задана уравнением: х(в квадрате)+у(в квадрате)-4х+2у-5=0. Найти координаты центра окружности и радиуса

Answer 1

Уравнение окружности имеет вид  (x – a)² + (y – b)² = R², где a и b -координаты центра окружности, R- ее радиус.
Приведем наше уравнение к такому виду
x²+y²-4x+2y-5=0
(x²-4x+4)-4+(y²+2y+1)-1-5=0
(x-2)²+(y+1)²=10
видно, что координаты центра (2,-1), радиус √10

Answer 2

Для нахождения координат центра окружности и радиуса по заданному уравнению окружности, необходимо привести уравнение к каноническому виду уравнения окружности. Канонический вид уравнения окружности имеет следующий вид:

(x - a)² + (y - b)² = r²,

где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Для этого давайте сначала преобразуем заданное уравнение:

x² + y² - 4x + 2y - 5 = 0.

Переносим свободный член на другую сторону уравнения:

x² + y² - 4x + 2y = 5.

Теперь выполним группировку переменных x и y в квадратных членах:

(x² - 4x) + (y² + 2y) = 5.

Чтобы завершить квадратное уравнение относительно x и y, нам нужно добавить и вычесть по константе внутри каждой скобки, так чтобы каждая скобка стала полным квадратом. Мы знаем, что для завершения квадратного уравнения относительно x, нам нужно добавить (4/2)² = 4 внутри первой скобки, а для y нам нужно добавить (2/2)² = 1 внутри второй скобки:

(x² - 4x + 4) + (y² + 2y + 1) = 5 + 4 + 1.

Теперь у нас есть полные квадраты внутри каждой скобки:

(x - 2)² + (y + 1)² = 10.

Сравнив это уравнение с каноническим видом уравнения окружности, мы видим, что:

a = 2 (координата центра по x), b = -1 (координата центра по y), r² = 10.

Теперь мы можем найти радиус r:

r = √10.

Таким образом, координаты центра окружности: (2, -1), а радиус окружности: √10.