Question

1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 28 см, а один из его углов равен 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма. 2. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 40 см, а диагонали относятся как 6:8. 3. На рисунке AB II CD. Докажите, что AO∙OC=BO∙OD Найдите АВ, если ВС=24 см, ОВ=9 см, СD=25 см.

Answer 1

1. Назовем прямоугольник АВСD, в котором AB=CD=28 см, BC=AD=32 см, угол B=150 градусам.
Если угол B равен 150 градусам, то угол А равен 180-150=30 градусам.
Проведем высоту BH к стороне AD. Рассмотрим треугольник ABH. В нем угол А=30 градусам, а угол AHB=90 градусам. Тогда сторона, лежащая против угла в 30 градусов, равна половине гипотенузы, т.е. BH=AB/2=28/2=14 см.
S=BH*AD=14*32=448 см²
2. Рассмотрим любой из треугольников, на которые ромб делят диагонали. Он прямоугольный(по свойству ромба), а еще в нем катеты(половины диагоналей) тоже относятся как 6:8(или 3:4), гипотенуза равна 40.
Обозначу за 3x один катет, за 4x другой катет. По теореме Пифагора:
(3x)²+(4x)²=40²
16x²+9x²=1600
25x²=1600
x²=64
x=8; 3x=24; 4x=32.
Тогда длины диагоналей равны 24*2=48 см и 32*2=64 см.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=48*64/2=48*32=1536 см².
3)а)Треугольники AOB и DOC подобны(∠AOB=∠DOC как вертикальные, ∠ABO=∠DCO как накрест лежащие). Тогда AO/DO=BO/CO.
По свойству пропорций, АО*СО=BO*DO, что и требовалось доказать.
б)Если ВС=24 см, ОВ=9 см, СD=25 см, то CO=24-9=15 см.
k(коэффициент подобия)=BO/CO=9/15=3/5=0,6.
АB=k*CD=0,6*25=15 cм.