Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите гипотенузу треугольника, если радиус окружности равен 8 см, а периметр треугольника равен 106 см.

Answer 1

Катет
a = x+8
катет
b = y+8
гипотенуза
c = x+y
---
теорема Пифагора
a² + b² = c²
(x+8)² + (y+8)² = (x+y)²
16x + 64 + 16y + 64 = 2xy
8x + 8y - xy +64 = 0
---
Периметр
2x + 2y + 16 = 106
x + y = 90
y = 90 - x
подставим 
8x + 8(90 - x) - x(90 - x) + 64 = 0
x² - 90x + 784 = 0
Дискриминант
D = 90² - 4*784 = 4964 = 4*1241
x₁ = (90 - 2√1241)/2 = 45 - √1241 см
x₂ = (90 + 2√1241)/2 = 45 + √1241 см
в силу симметрии уравнений по x и y
x = 45 - √1241 см
y = 45 + √1241 см
гипотенуза
c = x+y = 90 см

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

• $r$ - радиус вписанной окружности (в данном случае, $r = 8$ см).
• $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.
• $c$ - гипотенуза треугольника.

Мы знаем, что периметр треугольника равен 106 см, и периметр можно выразить через сумму длин всех его сторон:

$$106 = a + b + c$$

Также у нас есть связь между радиусом вписанной окружности и сторонами треугольника:

$$r = \frac{a + b - c}{2}$$

Теперь давайте решим эту систему уравнений.

Сначала рассмотрим уравнение для радиуса вписанной окружности:

$$8 = \frac{a + b - c}{2}$$

Умножим обе стороны на 2:

$$16 = a + b - c$$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $106 = a + b + c$
2. $16 = a + b - c$

Добавим уравнения 1 и 2:

$$106 + 16 = a + b + c + a + b - c$$

Упростим уравнение:

$$122 = 2(a + b)$$

Теперь разделим обе стороны на 2:

$$61 = a + b$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $61 = a + b$
2. $16 = a + b - c$

Мы можем решить эту систему методом вычитания уравнения 2 из уравнения 1:

$$61 - 16 = (a + b) - (a + b - c)$$

Упростим:

$$45 = c$$

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 45 см.