Question

Найдите периметр четырехугольника, в котором АВ = CD = a, угол BAD = углу BCD= а < 90°, ВС не равен AD.

Answer 1

Пусть BC=x, AD=y. По теореме косинусов
из треугольника BCD: $BD^2=a^2+x^2-2ax\cos\alpha,$
из треугольника ABD: $BD^2=a^2+y^2-2ay\cos\alpha.$
Значит, $x^2-2ax\cos\alpha=y^2-2ay\cos\alpha$, откуда
$(x-y)(x+y-2a\cos\alpha)=0.$ Т.к. по условию $x\neq y$, то. $x+y=2a\cos\alpha$. Т.е. периметр ABCD равен $2a+x+y=2a+2a\cos\alpha=2a(1+\cos\alpha).$

Answer 2

Периметр четырехугольника можно найти, сложив длины всех его сторон.

У нас есть четыре стороны: AB, BC, CD и DA.

Поскольку AB = CD = a, и угол BAD равен углу BCD (обозначим оба как α), данный четырёхугольник можно рассматривать как параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны.

Итак, AB = CD = a, и BC = DA = b (где b - длина сторон BC и DA).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем у нас есть две стороны (AB и AD) и угол между ними (α). Мы можем использовать тригонометрию для нахождения стороны BD:

BD = sqrt(AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos(α))

BD = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab * cos(α))

Теперь у нас есть все стороны четырёхугольника:

AB = a BC = b CD = a DA = b BD = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab * cos(α))

Теперь мы можем найти периметр четырёхугольника, сложив все стороны:

Периметр = AB + BC + CD + DA + BD Периметр = a + b + a + b + sqrt(a^2 + b^2 - 2ab * cos(α))

Таким образом, периметр четырёхугольника равен a + b + a + b + sqrt(a^2 + b^2 - 2ab * cos(α)).