Question

Вокруг равностороннего треугольника описана окружность радиуса 10 см. Затем в этот треугольник вписана окружность. Найдите радиус этой окружности

Answer 1

радиус описанной=2*радиус вписанной (в равностороннем треугольнике), радиус вписанной=радиус описанной/2=10/2=5

Answer 2

Пусть ABC - равносторонний треугольник, а O1 и O2 - центры описанной и вписанной окружностей соответственно.

Заметим, что в равностороннем треугольнике высота, проведенная из вершины до основания, делит треугольник на два равнобедренных треугольника. Таким образом, угол AOC равен 60 градусам (половина угла в основании равнобедренного треугольника).

Так как O1 является центром описанной окружности, O1A является радиусом этой окружности, и он равен 10 см.

Теперь, у нас есть равносторонний треугольник AOC, где радиус описанной окружности O1A известен (10 см), а угол AOC равен 60 градусам.

Мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности в треугольнике:

$R = \frac{a}{2\sin(\angle AOC)}$

где R - радиус описанной окружности, a - сторона треугольника.

В нашем случае a = 2 * O1A = 20 см.

Подставим значения:

$R = \frac{20}{2\sin(60^\circ)}$

$\sin(60^\circ) \approx 0.866$

$R \approx \frac{20}{2 \cdot 0.866} \approx 11.55 \text{ см}$

Таким образом, радиус вписанной окружности примерно 11.55 см.