Question

Помогите с аналитической геометрией В треугольнике, образованном прямыми AB:7x+y-2=0, BC:5x+5y-4=0 и AC:2x-2y+5=0 найти уравнение высот

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для того чтобы найти уравнения высот треугольника, нужно найти координаты его вершин. Для этого решим систему из трех уравнений:

7x + y - 2 = 0   (уравнение прямой AB)

5x + 5y - 4 = 0  (уравнение прямой BC)

2x - 2y + 5 = 0  (уравнение прямой AC)

Решая эту систему, получаем x = 1 и y = -5. Таким образом, вершины треугольника имеют координаты:

A(0, 2), B(7, -5), C(1, -1)

Далее, для каждой вершины нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через эту вершину и перпендикулярной стороне, противолежащей этой вершине.

Уравнение высоты, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне BC, можно найти следующим образом:

- найдем координаты середины стороны BC. Для этого найдем сначала координаты точек B и C:

 B(7, -5)

 C(1, -1)

 А затем середины:

 M(4, -3)

- найдем угловой коэффициент прямой BC (то есть тангенс угла наклона):

 k_BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (-1 - (-5)) / (1 - 7) = 1/2

- найдем угловой коэффициент высоты, проходящей через вершину A (то есть тангенс угла наклона):

 k_hA = - 1 / k_BC = -2

- теперь мы знаем угловой коэффициент высоты и координаты точки A, поэтому можем записать уравнение высоты:

 y - y_A = k_hA * (x - x_A)

 y - 2 = -2 * (x - 0)

 y = -2x + 2

Аналогично можно найти уравнения двух других высот. Результаты будут такими:

- уравнение высоты, проходящей через вершину B и перпендикулярной стороне AC: x + 2y - 9 = 0

- уравнение высоты, проходящей через вершину C и перпендикулярной стороне AB: x - 7y + 34 = 0

Answer 2

Для нахождения уравнений высот треугольника, нам нужно использовать уравнения прямых AB, BC и AC и знать определение высоты в треугольнике.

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его основанию (стороне). В данном случае, каждая из прямых AB, BC и AC представляет собой сторону треугольника, а точка их пересечения будет вершиной.

1. Сначала найдем вершину треугольника. Для этого решим систему уравнений AB и BC:

AB: 7x + y - 2 = 0 BC: 5x + 5y - 4 = 0

Сначала преобразуем уравнение BC, чтобы упростить решение системы:

5x + 5y - 4 = 0 x + y - 4/5 = 0

Теперь решим систему AB и BC:

7x + y - 2 = 0 x + y - 4/5 = 0

Выразим y из второго уравнения:

y = 4/5 - x

Подставим это значение y в первое уравнение:

7x + (4/5 - x) - 2 = 0

Упростим:

6x + 4/5 - 2 = 0

6x - 6/5 = 0

6x = 6/5

x = 1/5

Теперь найдем y, подставив x обратно во второе уравнение:

y = 4/5 - 1/5 = 3/5

Итак, вершина треугольника имеет координаты (1/5, 3/5).

2. Теперь, чтобы найти уравнение высоты, проведенной из вершины (1/5, 3/5), мы должны найти уравнение прямой, перпендикулярной одной из сторон треугольника, проходящей через эту вершину.

Давайте найдем уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через точку (1/5, 3/5).

Уравнение AB: 7x + y - 2 = 0 имеет наклон -7, потому что оно уже в нормальной форме. Из этого уравнения уравнение высоты будет иметь наклон 1/7 (перпендикулярное обратное значение).

Используем точку-наклонное уравнение прямой:

y - y1 = m(x - x1),

где (x1, y1) - точка (1/5, 3/5), m - наклон высоты (1/7).

y - 3/5 = (1/7)(x - 1/5)

Умножим обе стороны на 7, чтобы избавиться от дробей:

7y - 3 = x - 1/5

Теперь перенесем x на левую сторону:

x = 7y - 3 + 1/5

x = 7y - 14/5

Итак, уравнение высоты, проведенной из вершины треугольника (1/5, 3/5), имеет вид:

x = 7y - 14/5