Question

100 БАЛЛОВ! С РИСУНКОМ ПЖ! Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього гострим кутом α. Дві бічні грані, що містять катети цього трикутника перпендикулярні до площини основи, а третя – нахилена до неї під кутом β. Знайдіть об'єм піраміди.

Answer 1

     Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом а и прилегающим к нему острым углом α. Две боковые грани, содержащие катеты этого треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом β. Найдите объем пирамиды.

  ========

Пусть в данной пирамиде АВС - основание. угол С=90°, ВС=а, ∠АВС=α, MC⊥(ABC) – высота пирамиды. Угол между АВС и АМВ=β.

Формула объёма пирамиды V=S•H:3

Угол МНС - линейный угол угла между плоскостями основания и грани АМВ и равен углу между перпендикулярами, проведенными к одной точке на АВ.

МН - наклонная, перпендикулярна АВ, СН - её проекция на АВС.⇒ По т. о 3-х перпендикулярах угол СНВ=90°, а СН - высота ∆ АВС

S=a•b•sinα:2 ⇒

S(АВС)=AB•BC•sinα:2

АВ=ВС:cosα=a:cosα

S(АВС)=(a:cosα)•a•sinα:2=a²sinα:2cosα

H=MC=CH•tgβ

CH=BC•sinα=a•sinα

H=a•sinα•tgβ

V=(a²•sinα:2cosα)•a•sinα•tgβ:3⇒

Ответ:$V=\frac{a^{3}sin^{2} \alpha\cdot tg\beta}{6cos\alpha }$

:

Answer 2

Щоб знайти об'єм піраміди, яка має прямокутний трикутник з катетом a та кутом α як основу, а також має дві бічні грані, перпендикулярні до площини основи, і третю грань під кутом β, можна використовувати наступну формулу об'єму піраміди:

V = (1/3) * S_base * h,

де V - об'єм піраміди, S_base - площа основи, h - висота піраміди.

Площу основи піраміди можна знайти за допомогою прямокутного трикутника з катетом a та кутом α. Оскільки кут α є гострим кутом, площа основи це:

S_base = (1/2) * a * a * sin(α).

Тепер нам потрібно знайти висоту піраміди. Висота піраміди проходить від вершини прямокутного трикутника до вершини піраміди, і вона дорівнює:

h = a * sin(β).

Зараз ми можемо обчислити об'єм піраміди:

V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * [(1/2) * a * a * sin(α)] * (a * sin(β)) = (1/6) * a^2 * sin(α) * sin(β).

Отже, об'єм піраміди дорівнює (1/6) * a^2 * sin(α) * sin(β).