Question

СРОЧНО! из точки B к окружности провели касательную BA и секущую BD (C и D - точки пересечения, А- точка касания). докажите,что AB²=BC×BD

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Для доказательства утверждения AB² = BC × BD, мы можем использовать теорему о касательных и секущих к окружности.

Дано:

1. B - точка касания касательной BA и окружности.
2. C и D - точки пересечения секущей BD и окружности.
3. A - точка, где касательная BA касается окружности.

Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

В этом треугольнике у нас есть два прямых угла: угол BAC (так как BA - касательная) и угол BCA (так как BC - радиус окружности). Следовательно, треугольник ABC - прямоугольный.

С учетом этого мы можем применить теорему Пифагора к этому треугольнику:

AB² = AC² + BC²

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCD:

В этом треугольнике у нас также есть два прямых угла: угол BDC (так как BD - секущая) и угол BCD (так как BC - радиус окружности). Таким образом, треугольник BCD - также прямоугольный.

Снова применяя теорему Пифагора, мы можем получить:

BC² = BD² + CD²

Теперь объединим эти два уравнения:

AB² = AC² + BC² AB² = AC² + (BD² + CD²)

Так как точка C лежит на окружности, то ее расстояние от центра окружности равно радиусу окружности, которое мы обозначим как R:

AC = R

Теперь заменим AC в первом уравнении:

AB² = R² + (BD² + CD²)

Но BD и CD - это отрезки, которые начинаются в одной и той же точке D. Таким образом, мы можем записать:

BD + CD = BC

Теперь подставим это обратно в уравнение:

AB² = R² + BC²

Но BC² равно BD² + CD², так что мы можем заменить BC² в уравнении:

AB² = R² + (BD² + CD²) AB² = R² + (BD² + (BC² - BD²))

Теперь BD² и -BD² в скобках отменяют друг друга:

AB² = R² + BC²

Итак, мы получили AB² = BC² + R², и так как R - радиус окружности, то R² равно площади круга. Таким образом:

R² = πr², где r - радиус окружности.

Итак, мы имеем AB² = BC² + πr². Теперь, если мы переместим πr² на другую сторону уравнения, получим:

AB² - πr² = BC²

Так как πr² - это площадь круга, а BC - это секущая, то BC равно произведению расстояния от точки B до точки D (BD) и расстояния от точки D до точки C (CD), что можно записать как BD * CD. Таким образом, BC = BD * CD.

Подставляем это обратно в уравнение:

AB² - πr² = BD * CD

Теперь у нас есть AB² = BD * CD, и это то, что нужно было доказать.