Question

Доведіть: якщо протилежні вершини чотирикутника та точка перетину діагоналей належать площині α, то сам чотирикутник може НЕ належати площині α.

Answer 1

Ответ:

Це твердження є правильним. Розглянемо, наприклад, ромб. Ромб - це чотирикутник з рівними сторонами. Якщо ми зобразимо ромб в просторі і проведемо діагоналі, то точка їх перетину лежатиме на площині ромба. Однак, під час проекції ромба на площину альфа, він може змінити свою форму і стати паралелограмом, але точка перетину діагоналей все ще буде лежати на площині альфа. Тому, чотирикутник може не належати площині α, навіть якщо протилежні його вершини та точка перетину діагоналей лежать на цій площині.

Answer 2

Це можливо, і ми можемо розглянути приклад для доведення цього. Розглянемо чотирикутник ABCD та точку перетину його діагоналей E, як показано на малюнку:

cssCopy code
  A---------B
   \       /
    \     /
     \   /
      \ /
       E
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  D---------C

Нехай точка E лежить в площині α, тобто E ∈ α. І нехай AB та CD - діагоналі цього чотирикутника. Ми можемо вибрати такі координати для вершин A, B, C та D, що діагоналі перетинаються у точці E, і при цьому чотирикутник не лежить в площині α. Наприклад, можна взяти такі координати:

A(0, 0, 0), B(1, 1, 0), C(2, 0, 0), D(1, -1, 0), E(1, 0, 0).

У цьому випадку точка E лежить в площині α, але чотирикутник ABCD не лежить в цій площині, оскільки він розташований в іншій площині, паралельній площині α.

Таким чином, ми побачили, що існує такий чотирикутник, який має точку перетину діагоналей в площині α, але сам чотирикутник не лежить в цій площині.