Question

1. Через вершину А квадрата ABCD із стороною 4 см проведено перпендикуляр АК завдовжки 4sqrt(2) см до площини квадрата. A) Визначити взаємне розміщення прямої CD і площини AKD. Б) Знайти кут між прямою КС і площиною АВС. В) Знайти довжину вiдрiзка КС. Г) Знайти відстань від точки К до прямої BD.​

Answer 1

Ответ:

А)  СD ⊥ AKD.

Б)  ∠АСК = 90° : 2 = 45°

В)   КС = 8 см

Г)  КО = 2√10 см.

Объяснение:

1. Через вершину А квадрата ABCD со стороной 4 см проведен перпендикуляр АК длиной 4√2 см к плоскости квадрата.

A) Определить взаимное размещение прямой CD и плоскости AKD.

Б) Найти угол между прямой КС и плоскостью АВС.

В) Найти длину отрезка КС.

Г) Найти расстояние от точки К до прямой BD.​

Дано: ABCD -  квадрат;

АК ⊥ ABCD;

AB = 4 см; АК = 4√2 см;

Найти: А) Определить взаимное размещение прямой CD и плоскости AKD. Б) Найти угол между прямой КС и плоскостью АВС.  В) Найти длину отрезка КС.  Г) Найти расстояние от точки К до прямой BD.​

Решение:

А)  Определить взаимное размещение прямой CD и плоскости AKD.

• Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

⇒ АК ⊥ AD

⇒ AD - проекция KD на плоскость ABC.

СD ⊥ АD

• Теорема о трех перпендикулярах:
• Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

⇒ CD ⊥ KD

• Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

⇒ СD ⊥ AKD.

Б) Найти угол между прямой КС и плоскостью АВС.

• Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и проекцией этой прямой на данную плоскость.

АС - проекция АК на АВС.

Рассмотрим ΔAСD - прямоугольный.

По теореме Пифагора найдем АС:

АС² = AD² + CD² = 16 + 16 = 32   ⇒   AC = 4√2 см

АК = 4√2 см; АК ⊥ ABCD (условие)

⇒ ΔACD - прямоугольный и равнобедренный.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АКС + ∠АСК = 90°

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠АКС = ∠АСК = 90° : 2 = 45°

В) Найти длину отрезка КС.

По теореме Пифагора найдем КС:

КС² = АС² + АК² = 32 + 32 = 64   ⇒  КС = 8 см

Г) Найти расстояние от точки К до прямой BD.​

• Диагонали квадрата равны, точкой пересечения делятся пополам  и взаимно перпендикулярны.

AO ⊥ BD

⇒ KO ⊥ BD (теорема о трех перпендикулярах)

• Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

⇒ КО - искомый отрезок.

АО = АС : 2 = 4√2 : 2 = 2√2 (см)

АК = 4√2 см.

По теореме Пифагора найдем КО:

КО² = АК² + АО² = 32 + 8 = 40   ⇒   КО = 2√10 см.

#SPJ1

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу крок за кроком:

А) Взаємне розміщення прямої CD і площини AKD:

1. Площина AKD - це площина, яка містить вектор AK і перпендикулярна площині ABCD (оскільки AK - це перпендикуляр до площини ABCD).
2. Пряма CD лежить в площині ABCD, оскільки вона є однією з її сторін.
3. Оскільки площина AKD перпендикулярна площині ABCD, і пряма CD лежить в площині ABCD, пряма CD перпендикулярна площині AKD.

Отже, пряма CD перпендикулярна до площини AKD.

Б) Знайдемо кут між прямою КС і площиною АВС:

1. Відомо, що пряма КА є діагоналлю квадрата ABCD, тому вона ділить кут між прямими АВ і ВС на два рівні кути. Кожен з цих кутів дорівнює 45 градусів.

2. Тепер ми знаємо, що кут між прямими КА і КС дорівнює 45 градусів.

В) Знайдемо довжину відрізка КС:

1. Ми вже знаємо, що КА = 4 см (більша сторона квадрата).

2. З кута між прямою КА і КС (45 градусів) і стороною КА ми можемо використовувати тригонометричні функції для обчислення довжини КС:

   KS = KA * cos(45 градусів) = 4 см * cos(45 градусів) = 4 см * (√2 / 2) = 2√2 см.

Отже, довжина відрізка КС дорівнює 2√2 см.

Г) Знайдемо відстань від точки К до прямої BD:

1. Відомо, що пряма КА - це діагональ квадрата ABCD, і вона ділить пряму BD на дві рівні частини.

2. Відстань від точки К до прямої BD дорівнює половині діагоналі КА.

   Відстань К до BD = (1/2) * КА = (1/2) * 4 см = 2 см.

Отже, відстань від точки К до прямої BD дорівнює 2 см.