Question

В равнобедренном прямоугольном треугольнике из точки, взятой на гипотенузе, проведены перпендикуляры к его катетам. Периметр получившегося четырёхугольника равен 110 см. Найдите сумму длин катетов?

Answer 1

1) получившийся четырехугольник --это прямоугольник.
2) если рассмотреть получившиеся прямоугольные треугольники (их два), 
то они тоже будут равнобедренными...
из составленных равенств легко получить ответ:
сумма длин катетов данного треугольника 110.

Answer 2

Давайте обозначим длину одного катета как "a" см, а длину гипотенузы как "c" см. Так как у нас равнобедренный прямоугольный треугольник, то в нем катеты равны, т.е., a = a.

Мы знаем, что периметр четырёхугольника равен 110 см. Этот четырёхугольник состоит из двух прямоугольных треугольников и имеет две одинаковые длины катетов (a) и одну длину гипотенузы (c).

Периметр четырёхугольника равен сумме всех его сторон. В данном случае, он состоит из двух катетов (2a) и двух гипотенуз (2c):

2a + 2c = 110

Мы также знаем, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты связаны с гипотенузой следующим образом:

a^2 + a^2 = c^2

Или

2a^2 = c^2

Теперь мы можем решить систему уравнений:

1. 2a + 2c = 110
2. 2a^2 = c^2

Давайте начнем с уравнения (2). Мы можем выразить c через a:

c = sqrt(2a^2)

Теперь подставим это значение c в уравнение (1):

2a + 2 * sqrt(2a^2) = 110

Разделим обе стороны на 2:

a + sqrt(2a^2) = 55

Теперь, возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(a + sqrt(2a^2))^2 = 55^2

a^2 + 2a*sqrt(2a^2) + 2a^2 = 3025

Теперь объединим подобные слагаемые:

3a^2 + 2a*sqrt(2a^2) = 3025

Теперь, выразим sqrt(2a^2) через a:

sqrt(2a^2) = a * sqrt(2)

Подставим это значение обратно в уравнение:

3a^2 + 2a * a * sqrt(2) = 3025

Упростим:

3a^2 + 2a^2 * sqrt(2) = 3025

Теперь можно выразить a:

5a^2 * sqrt(2) = 3025

a^2 * sqrt(2) = 605

a^2 = 605 / sqrt(2)

a = sqrt(605 / 2)

Теперь найдем c, используя уравнение (2):

c = sqrt(2a^2) c = sqrt(2 * (605 / 2)) c = sqrt(605)

Итак, мы нашли значения a и c. Теперь найдем сумму длин катетов:

Сумма длин катетов = 2a Сумма длин катетов = 2 * sqrt(605 / 2)

Сумма длин катетов = sqrt(605)

Таким образом, сумма длин катетов равна sqrt(605) см.