Question

В треугольнике АВС на стороне АВ вщято точку М такую, шо АМ: МВ = 2: 3, а на стороне АС - точку N такую, что AN: NC = 3: 4 3найты площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равен 12. Большое спасибо заранее.

Answer 1

Ранее таких задач не решал, но это все что приходит на ум

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться соотношением площадей треугольников. Пусть S(ABC) - площадь треугольника ABC, S(AMN) - площадь треугольника AMN, S(ABM) - площадь треугольника ABM и S(ACN) - площадь треугольника ACN.

Мы знаем, что AM:MB = 2:3 и AN:NC = 3:4. Это означает, что отношение площадей треугольников AMN и ABM равно отношению квадратов соответствующих сторон:

S(AMN):S(ABM) = (AM/AB)^2 = (2/5)^2 = 4/25

Аналогично, отношение площадей треугольников AMN и ACN равно отношению квадратов соответствующих сторон:

S(AMN):S(ACN) = (AN/AC)^2 = (3/7)^2 = 9/49

Теперь мы знаем, что S(AMN) = 12, и у нас есть отношения площадей AMN к ABM и ACN:

S(AMN):S(ABM) = 4/25 S(AMN):S(ACN) = 9/49

Мы можем найти S(ABM) и S(ACN), умножив S(AMN) на соответствующие отношения:

S(ABM) = (4/25) * 12 = 48/25 S(ACN) = (9/49) * 12 = 108/49

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, сложив площади треугольников ABM, AMN и ACN:

S(ABC) = S(ABM) + S(AMN) + S(ACN) = (48/25) + 12 + (108/49)

Для удобства вычислений, мы можем привести все дроби к общему знаменателю, который будет 1225:

S(ABC) = (48/25)(49/49) + (121225/1225) + (108/49)*(25/25) S(ABC) = (2352/1225) + (14700/1225) + (2700/1225)

Теперь сложим числители:

S(ABC) = (2352 + 14700 + 2700)/1225 S(ABC) = 19752/1225

Теперь мы можем упростить дробь:

S(ABC) = 16

Итак, площадь треугольника ABC равна 16.